2010-2011学年东三省沈阳、大连、长春、哈尔滨高三第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．8

2. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．4
C．-6
D．6

3. 难度：中等

已知向量的夹角为，且，，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

关于函数f（x）=sinx+cosx下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）最大值为2
B．函数f（x）的一条对称轴为
C．函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数是奇函数
D．函数y=|f（x）|的周期为2π

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}与等比数列{b_n}，满足a₃=b₃，2b₃-b₂b₄=0，则{a_n}前5项的和S₅为（ ）
A．5
B．20
C．10
D．40

6. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（

A．n=n+2，i=15
B．n=n+2，i＞15
C．n=n+1，i=15
D．n=n+1，i＞15

7. 难度：中等

在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

价格x	9	9.5	10	10.5	11
销售量y	11	10	8	6	5

由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=-3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=-b），则a=（ ）
A．-24
B．35.6
C．40.5
D．40

8. 难度：中等

两个平面α与β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内（ ）
A．一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直
B．一定存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直
C．不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与m垂直
D．不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直

9. 难度：中等

已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x²+y²-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
A．3
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

计划在4个侯选场馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，在同一个场馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（ ）
A．24种
B．36种
C．42种
D．60种

11. 难度：中等

已知P为双曲线左支上一点，F₁，F₂为双曲线的左右焦点，且cos∠PF₁F₂=sin∠PF₂F₁=
则此双曲线离心率是（ ）
A．
B．5
C．2
D．3

12. 难度：中等

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且，则f（1）=（ ）
A．1
B．或
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数，则f（x）中的系数为     ．

14. 难度：中等

把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C-ABD，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为    ．

15. 难度：中等

古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它们有一定的规律性第30个三角数与第28个三角数的差为     ．

16. 难度：中等

甲乙两艘船都要在某个泊停靠，若分别停靠6小时、8小时．假定它们在一昼夜的时间段内到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 ．

17. 难度：中等

已知函数，的最大值为3，f（x）的图象的相邻两对称轴间的距离为2，在y轴上的截距为2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0为BC的中点．
（I）求证：SO⊥面ABC；
（II）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；
（III）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为；若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由．

19. 难度：中等

为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：药物效果试验列联表

工作人员曾用分层抽样的方法从50只服用药的动物中抽查10个进行重点跟踪试验．知道其中患病的有2只．
（1）求出列联表中数据x，y，M，N的值；
（2）通过所给的数据判断药物是否有效；
（3）能够以97.5%的把握认为药物有效吗？
参考数据：

20. 难度：中等

如图，S（1，1）是抛物线为y²=2px（p＞0）上的一点，弦SC，SD分别交x小轴于A，B两点，且SA=SB．
（I）求证：直线CD的斜率为定值；
（Ⅱ）延长DC交x轴于点E，若，求cos∠CSD的值．

21. 难度：中等

如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F．求 +的值．

22. 难度：中等

4-1（几何证明选讲）
如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90^o．以AB为直径的圆0交AC于点E点D是BC边的中点，连0D交圆0于点M
（I）求证：0，B，D，E四点共圆；
（II）求证：2DE²=DM•AC+DM•AB

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极方程为ρ+sinθ+cosθ=0．则圆心的极坐标______．

24. 难度：中等

设对于任意实数x，不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-12．