2011年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=cos²x-sin²x（x∈R）的最小正周期T=（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

2. 难度：中等

已知关于x、y的二元一次线性方程组的增广矩阵是，则该线性方程组有无穷多组解的充要条件是λ=（ ）
A．2
B．1或2
C．1
D．0

3. 难度：中等

给出下列命题：
（1）函数y=sinx+cosx的图象可由y=sinx的图象平移得到；
（2） 已知非零向量、，则向量在向量的方向上的投影可以是•；
（3）在空间中，若角α的两边分别与角β的两边平行，则α=β；
（4）从总体中通过科学抽样得到样本数据x₁、x₂、x₃…x_n（n≥2，n∈N⁺），则数值S=（为样本平均值）可作为总体标准差的点估计值．则上述命题正确的序号是[答]（ ）
A．（1）、（2）、（4）
B．（4）
C．（2）、（3）
D．（2）、（4）

4. 难度：中等

若，则该数列的前2011项的乘积a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=（ ）
A．3
B．-6
C．-1
D．

5. 难度：中等

（文科）若函数y=和y=|x-a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞-4
B．a≤-4
C．a≤4
D．a＞4

二、解答题

6. 难度：中等

函数y=的定义域是    ．

7. 难度：中等

已知函数y=f（x）与函数y=f^-1（x）互为反函数，若函数f^-1（x）=（x≠-a，x∈R）的图象过点（1，3），则f（4）=    ．

8. 难度：中等

已知命题A：若x＞1，则x+≥5且8-6x-≤2成立．命题A的逆否命题是    ；该逆否命题是    ．（填“真命题”或“假命题”）

9. 难度：中等

已知全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|log₂（x²-）=-1，x∈R}，B={x|4^x-3•2^x+2=0，x∈R}，则A∩（C_uB）=    ．

10. 难度：中等

不等＞-2的解集是    ．

11. 难度：中等

方程sinx+cosx=-1的解集是    ．

12. 难度：中等

已知角α的顶点在原点，始边与平面直角坐标系x轴的正半轴重合，点P（-2，）在角α的终边上，则sin（α+）=    ．

13. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱的长度都为4，则异面直线AB₁与BC₁所成的角是    （结果用反三角函数值表示）．

14. 难度：中等

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱的长度都为4，点D是B₁C₁的中点，则异面直线AB₁与A₁D所成的角是    （结果用反三角函数值表示）．

15. 难度：中等

已知某圆锥体的底面半径r=1，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是    ．

16. 难度：中等

已知、是两个不共线的平面向量，向量=2-，=+λ（λ∈R），若∥，则λ=    ．

17. 难度：中等

（理科）一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为    （用数值作答）．

18. 难度：中等

（文科） 一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌花色各不相同的概率为    （用数值作答）．

19. 难度：中等

下面是用区间二分法求方程2sinx+x-1=0在[0，1]内的一个近似解（误差不超过0.001）的算法框图，如图2所示，则判断框内空白处应填入    ，才能得到需要的解．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，如果对任意n∈N⁺都有=p（p为常数），则称数列{a_n}为“等差比”数列，p叫数列{a_n}的“公差比”．现给出如下命题：
（1）等差比数列{a_n}的公差比p一定不为零；
（2）若数列{a_n}（n∈N⁺）是等比数列，则数列{a_n}一定是等差比数列；
（3）若等比数列{a_n}是等差比数列，则等比数列{a_n}的公比与公差比相等．
则正确命题的序号是    ．

21. 难度：中等

（文科） 计算=    ．

22. 难度：中等

（理科）若关于x的方程-kx+2k=0有2个不同的实数根，则实数k的取值范围是    ．

23. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（n∈N⁺），则可得该数列的前2011项的乘积a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=    ．

24. 难度：中等

如图所示，已知三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD点M、N、G、H分别是棱AB、AD、DC、CB的中点．
（1）求证M、N、G、H四点共面；
（2）已知DC=1，CB=，AD=，AB是球M的大圆直径，点C在球面上，求球M的体积V．

25. 难度：中等

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x＜b），满足f（x）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x是它的一个均值点．如y=x⁴是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．
（1）判断函数f（x）=-x²+4x在区间[0，9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；
（2）若函数f（x）=-x²+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，试确定实数m的取值范围．

26. 难度：中等

已知a、b∈R，向量=（x，1），=（-1，b-x），函数f（x）=a-是偶函数．
（1）求b的值；
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

27. 难度：中等

如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的图象，且图象的最高点为S（6，4）．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离；
（2）连接MP，设∠NPM=θ，y=MN+NP，试求出用θ表示y的解析式；
（3）（理科）应如何设计，才能使折线段MNP最长？
（文科）求函数y的最大值．

28. 难度：中等

（理科）已知各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，S_n=a_na_n+1（n∈N⁺），其中Sn是数列{a_n}的前n项的和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）已知p（≥2）是给定的某个正整数，数列{b_n}满足b_n=1，=
（k=1，2，3…，p-1），求b_k；
（3）化简b₁+b₂+b₃+…+b_p．

29. 难度：中等

（文科） 在数列{a_n}中，如果对任意n∈N⁺都有=p（p为非零常数），则称数列{a_n}为“等差比”数列，p叫数列
{a_n}的“公差比”．
（1）已知数列{a_n}满足a_n}=-3•2ⁿ+5（n∈N⁺），判断该数列是否为等差比数列？
（2）已知数列{b_n}（n∈N⁺）是等差比数列，且b₁=2，b₂=4公差比p=2，求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）记S_n为（2）中数列{b_n}的前n项的和，证明数列{S_n}（n∈N⁺）也是等差比数列，并求出公差比p的值．