2011年云南省高三第二次复习统测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知f（x）的定义域为实数集如果f（2011x）=2011，那么f（3x）=（ ）
A．3
B．2011
C．3
D．2011

2. 难度：中等

在（1-x⁴）（2-x）⁵的展开式中，x²的系数等于（ ）
A．80
B．-80
C．40
D．-40

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差等于2的等差数列，如果a₄是a₂与a₅的等比中项，那么a₂的值等于（ ）
A．4
B．-2
C．-8
D．-14～

4. 难度：中等

若，则实数a等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

曲线y=x²-2在点（一1，-）处的切线的倾斜角等于（ ）
A．
B．
C．
D．一

6. 难度：中等

如果点（，-2）在椭圆上，那么椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如果sinx+cosx=，那么tanx+cotx等于（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

8. 难度：中等

己知直线x+7y=10把圆x²+y²=4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

9. 难度：中等

在下列给出的四个函数中，与y=2^x互为反函数的是（ ）
A．
B．y=x²（x＞0）
C．y=log₂x（x＞0）
D．y=-2^x（x＞0）

10. 难度：中等

以抛物线x²=8y上的一点M为圆心作圆M，如果圆M经过抛物线的顶点和焦点，那么圆M的半径等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3

11. 难度：中等

己知球O在一个棱长为2的正四面体内，如果球0是该正四面体内的最大球，那么球O的表面积等于（ ）
A．4π
B．
C．2π
D．

12. 难度：中等

已知N是自然数集，常数a、b都是自然数，集合M={x|5x-a≤0}，集合P={x|6x-b＞0}，如果M∩P∩N={2，3，4}，那么以（a，b）为坐标的点一共有（ ）
A．20个
B．25个
C．30个
D．42个

二、解答题

13. 难度：中等

在复平面内，复数z₁=1+i，z₂=2+3i对应的点分别为A、B，O为坐标原点，若点P在第四象限内，则实数λ的取值范围是   

14. 难度：中等

若对n个向量•，…存在n个不全为零的实数k₁，k₂，…，k_n，使得k₁+k₂+…，k_n=成立，则称向量、，…为“线性相关”．依此规定，能说明=（1，2），=（1，-1），=（2，2）“线性相关”的实数k₁，k₂，k₃依次可以取     （写出一组数值即中，不必考虑所有情况）．

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果2b=a+c，那么内角B的最大值等于    ．

16. 难度：中等

16、如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱C₁D₁、C₁C的中点．以下四个结论：
①直线AM与直线CC₁相交；
②直线AM与直线BN平行；
③直线AM与直线DD₁异面；
④直线BN与直线MB₁异面．
其中正确结论的序号为    ．
（注：把你认为正确的结论序号都填上）

17. 难度：中等

已知及是实数集，x∈R，平面向量=（1，sin²x-cos²x），平面向量=（cos（2x-），1），函数f（x）=•．
（I ）求f（x）的最小正周期；
（II ）设函数F（x）=[f（x）]²+f（x），求F（x）的值域．

18. 难度：中等

某中学有5名报考艺术类的考生要参加专业測试，已知每位考生专业测试合格的概率等于．
（I ）假设该中学5名考生恰有r人专业測试合格的概率等于，求r的值；
（II）假设该中学5名考生专业測试合格的人数为ξ，求ξ的期望和方差．

19. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D是侧棱的中点．
（I ）求证：平面ADC₁丄平面ACC₁A₁；
（II）求平面ADC₁与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

20. 难度：中等

已知双曲线S的两个焦点F₁、F₂在x轴上，它的两条渐近线分别为l₁、l₂，y=x是其中的一条渐近线的方程，两条直线X=±是双曲线S的准线．
（I）设A、B分别为l₁、l₂上的动点，且2||=5，求线段AB的中点M的轨迹方程：
（II）已知O是原点，经过点N（0，1）是否存在直线l，使l与双曲线S交于P，E且△POE是以PE为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知n是正整数，在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，在数列{b_n}中，b₁=a₁，
当n≥2时，=++…+．
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）求-的值：
（III）当n≥2时，证明：．

22. 难度：中等

已知及是实数集，e是自然对数的底数，函数f（x）=的定义域为{x|x＞0，x∈R}
（I）解关于x的不等式f（x²+1）＞：
（II）若常数k是正整数，当x＞0时，f（x）＞恒成立，求k的最大值．