2009年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，则∁_U（A∩B）=（ ）
A．{6，7，8}
B．{1，4，5，6，7，8}
C．{2，3}
D．{1，2，3，4，5}

2. 难度：中等

如果复数（m²-3m）+（m²-5m+6）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0
B．2
C．0或3
D．2或3

3. 难度：中等

已知函数ƒ（x）=则函数f（x）的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-2x+1＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-2x+1≥0
B．∃x∈R，x²-2x+1＞0
C．∀x∈R，x²-2x+1≥0
D．∀x∈R，x²-2x+1＜0

5. 难度：中等

在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为（ ）
A．-2
B．2
C．6
D．2或6

6. 难度：中等

如图所示的图形是由若干个小正方体所叠成的几何体的侧（左）视图与俯视图，其中俯视图的小正方形中的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方形的个数，则这个几何体的正（主）试图是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

曲线y=x³在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知圆x²+y²=9与圆x²+y²-4x+4y-1=0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．4x-4y+1=0
B．x-4=0
C．x+y=0
D．x-y-2=0

9. 难度：中等

在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在平面内有n（n∈N^*，n≥3）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n条直线把平面分成f（n）个平面区域，则f（6）等于（ ）
A．18
B．22
C．24
D．32

二、解答题

11. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出y的值为    ．

12. 难度：中等

在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其它7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为    分．

13. 难度：中等

在△ABC中，已知tanA=3tanB，则tan（A-B）的最大值为     ，此时角A的大小为     ．

14. 难度：中等

如图所示，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则=    ．

15. 难度：中等

直线，（t为参数）被圆，（θ为参数）所截得的弦长为    ．

16. 难度：中等

已知向量，设函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若，求f（A+B）的值．

17. 难度：中等

已知实数a、b∈{-2，-1，1}
（1）求直线y=ax+b不经过第一象限的概率；
（2）求直线y=ax+b与圆x²+y²=1有公共点的概率．

18. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）证明：直线A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的长；
（3）求经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

20. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1（m∈N^*）成等差数列，试判断S_m，S_m+2，S_m+1是否成等差数列，并证明你的结论．

21. 难度：中等

已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．