2010年湖北省黄冈市名校高考数学模拟试卷09（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知是纯虚数（其中i是虚数单位），若θ∈[0，2π），则θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设集合P={b，1}，Q={c，1，2}，P⊆Q，若b，c∈{2，3，4，5，6，7，8，9}，则b=c的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

.向量=（），是直线y=x的方向向量，a₁=5，则数列{a_n}的前10项的和（ ）
A．50
B．100
C．150
D．200

4. 难度：中等

（2x+4）²⁰¹⁰=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，则a+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定

5. 难度：中等

已知x，y满足条件，则z=的最小值（（ ）
A．4
B．
C．
D．-

6. 难度：中等

已知函数的反函数为f^-1（x），则f^-1（4）=（ ）
A．-6
B．1
C．-1
D．-5

7. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=2sinx，动直线x=t与f（x）、g（x）的图象分别交于点P、Q，|PQ|的取值范围是（ ）
A．[0，1]
B．[0，2]
C．[0，]
D．[1，]

8. 难度：中等

已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：，，则连接A（a²，a）、B（b²，b）两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定

9. 难度：中等

直线MN与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右支分别交于M、N点，与双曲线的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，又=λ（λ∈R），则实数λ的值为（ ）

A．
B．2
C．
D．3

10. 难度：中等

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（ ）
A．f（2）＞e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）
B．f（2）＜e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）
C．f（2）＞e²f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰f（0）
D．f（2）＜e²f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰f（0）

二、解答题

11. 难度：中等

设函数f（x）=，要使f（x）在（-∞，+∞）内连续，则a=   

12. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x²+2x+ξ=0有实数解的概率为，若P（ξ≤2）=0.8，则P（0≤ξ≤2）=    ．

13. 难度：中等

将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有     种．

14. 难度：中等

已知点M是抛物线y²=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x-4）²+（y-1）²=1上，则|MA|+|MF|的最小值为    ．

15. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是．
（1）求角A的大小；
（2）求的值．

17. 难度：中等

如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（I）求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；
（III）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．

18. 难度：中等

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（Ⅰ）求该学生考上大学的概率．
（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

20. 难度：中等

如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a²上的射影依次为点D，K，E，
（1）已知抛物线的焦点为椭圆C的上顶点．
①求椭圆C的方程；
②若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ₁+λ₂的值；
（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项，，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…；
（Ⅲ）证明：．