2010-2011学年安徽省巢湖、六安、淮南三校（一中）高三1月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（ ）
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为真命题

2. 难度：中等

已知全集I=R，集合A={x|x≤1或x≥3}，集合B={x|k＜x＜k+1}，k∈R，且（C_IA）∩B=B，则实数k的取值范围是（ ）
A．[1，2]
B．（0，3）
C．（-∞，0）∪（3，+∞）
D．（-∞，0]∪[3，+∞）

3. 难度：中等

在△ABC中，若，则O为△ABC的（ ）
A．重心
B．内心
C．垂心
D．外心

4. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

对于数列{a_n}，a₁=4，a_n+1=f（a_n）n=1，2…，则a₂₀₁₁等于（ ）

x	1	2	3	4	5
f（x）	5	4	3	1	2

A．2
B．3
C．4
D．5

6. 难度：中等

函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

7. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且a²+ac=c²+ab，则∠C=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设双曲线的右焦点为F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两实根分别为x₁，x₂，则P（x₁，x₂）（ ）
A．必在圆x²+y²=2内
B．必在圆x²+y²=2外
C．必在圆x²+y²=2上
D．以上三种情况都有可能

9. 难度：中等

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）=x-sinx，若f（a-2）+f（4-a²）＜0，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．
C．
D．（0，2）

10. 难度：中等

设数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，已知a₁+a₄+a₇=99，a₂+a₅+a₈=93，若对任意n∈N*，都有S_n≤S_k成立，则k的值为（ ）
A．22
B．21
C．20
D．19

二、解答题

11. 难度：中等

不等式的解集为    ．

12. 难度：中等

已知||=3，||=5，=12，则在方向上的投影为     ．

13. 难度：中等

已知抛物线y²=ax的焦点为F（1，0），过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若AB=8，则直线l的方程是    ．

14. 难度：中等

从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC=2，∠A=90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为    ．

15. 难度：中等

给出下列五个命题：
①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则；
②函数在区间上是单调递增；
③已知a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的充分不必要条件；
④若xlog₃4=1，则；
⑤在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC必为锐角三角形．
其中正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

16. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-4x-6y+9=0．
（I）若点Q（x，y）在圆C上，求x+y的最大值与最小值；
（II）已知过点P（3，2）的直线l与圆C相交于A、B两点，若P为线段AB中点，求直线l的方程．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•=•=1．
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|+|=，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

已知函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k+1（k∈N^*），a₁=1；数列{b_n}满足：b₁=2，且对任意p，q∈N^*，都有b_p+b_q=b_p+q．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

已知在同一平面内满足条件：=，．
（I）求证：△ABC为正三角形；
（II）类比于（I），在同一平面内，若向量满足条件：=，，试判断四边形ABCD的形状，并给予证明．

20. 难度：中等

设函数f（x）=lnx，．
（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求证：．

21. 难度：中等

经过A（2，0），以（2cosθ-2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（-2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．
（I）求点M（x，y）的轨迹方程；
（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF₁|、|OP|、|PF₂|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．