2011年广西桂林市高三第二次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1+i
B．1+i
C．-2+2i
D．2+2i

2. 难度：中等

若等比数列，则数列{a_n}的公比q为（ ）
A．
B．
C．2
D．8

3. 难度：中等

已知，则等于（ ）
A．
B．7
C．
D．-7

4. 难度：中等

若函数y=f（x）与y=e^x+1的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ）
A．lnx-1（x＞0）
B．ln（x-0）（x＞1）
C．lnx+1（x＞1）
D．lnx-1（x＞1）

5. 难度：中等

已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知椭圆的离心率为的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1

7. 难度：中等

过点M（，1）的直线l与圆C：（x-1）²+y²=4交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为（ ）
A．2x-y=0
B．2x+y+2=0
C．2x-4y+3=0
D．2x+4y-5=0

8. 难度：中等

定义在R上的函数，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a

9. 难度：中等

现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等将的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书，若这四名学生都愿意进这四所大学的任一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有（ ）
A．288种
B．144种
C．108种
D．72种

10. 难度：中等

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），若线段FA与抛物线的交点B满足，则点B到该抛物线的准线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知向量（θ∈R），则向量的夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知α-l-β是大小为45°的二面角，C为二面角内一定点，且到半平面α和β的距离分别为和6，A、B分别是半平面α，β内的动点，则△ABC周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．15
D．

二、解答题

13. 难度：中等

设全集U=A∪B={x∈N^*|lgx＜1}，若A∩∁_UB={m|m=2n+1，n=0，1，2，3，4}，则集合B=    ．

14. 难度：中等

已知的展开式中x³的系数为，则常数a的值为    ．

15. 难度：中等

已知P是双曲线上的动点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上的一点，且，O为坐标原点，则|OM|=    ．

16. 难度：中等

已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于    ．

17. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（2c-b）tanB=btanA，求角A．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，E为棱PC上异于C的一点，DE⊥BE．
（1）证明：E为PC的中点；
（2）求二面角P-DE-A的大小．

19. 难度：中等

某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A、B两个题目，该学生答对A、B两题的概率分别为和，两题全部答对方可过入面试，面试要回答甲、乙两个题目，该学生答对这两个题目的概率均为，至少答对一题即可被聘用（假设每个环节的每个题目回答正确与否是相互独立的）
（1）求该学生被公司聘用的概率；
（2）设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=2-（2n-1）a_n（n∈N*）
（1）设b_n=（2n+1）S_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）证明：．

21. 难度：中等

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交地F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率的椭圆C₂与抛物线C₂在x轴上方的交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动，当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．

22. 难度：中等

设曲线C：f（x）=x³-ax+b（a，b∈R）
（1）若函数g（x）=lnx-[f′（x）+a]-2x存调递减区间，求a的取值范围；
（2）若过曲线C外的点A（1，0）作曲线C的切线恰有三条，求a，b满足的关系式．