2011年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈Z||x|＜5}，B={x|x-2≥0}，则A∩B等于（ ）
A．（2，5）
B．[2，5）
C．{2，3，4}
D．{3，4，5}

2. 难度：中等

下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A．y=2^|x|
B．y=x²-
C．y=2
D．y=x³

3. 难度：中等

设a=log₂3，b=log₄3，c=0.5，则（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b

4. 难度：中等

设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

6. 难度：中等

已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（ ）
A．两个函数的图象均关于点成中心对称
B．两个函数的图象均关于直线成中心对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同

7. 难度：中等

已知曲线及两点A₁（x₁，0）和A₂（x₂，0），其中x₂＞x₁＞0．过A₁，A₂分别作x轴的垂线，交曲线C于B₁，B₂两点，直线B₁B₂与x轴交于点A₃（x₃，0），那么（ ）
A．成等差数列
B．成等比数列
C．x₁，x₃，x₂成等差数列
D．x₁，x₃，x₂成等比数列

8. 难度：中等

如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是（ ）

A．①②
B．②③
C．③
D．③④

二、解答题

9. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点到原点的距离为    ．

10. 难度：中等

如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知，PC=4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为    ．

11. 难度：中等

已知椭圆C：经过点，则m=    ，离心率e=    ．

12. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为    ．

13. 难度：中等

某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有    种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有    种．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有，当a₁=11时，a₁₀₀=    ；若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p的值为    ．

15. 难度：中等

设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．
（Ⅰ）当时，求角A的度数；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

16. 难度：中等

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为．
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

17. 难度：中等

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

18. 难度：中等

已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）

19. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
（Ⅱ）若，，，求λ₂的取值范围．

20. 难度：中等

定义τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-1-a_n|为有限项数列{a_n}的波动强度．
（Ⅰ）当a_n=（-1）ⁿ时，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）；
（Ⅱ）若数列a，b，c，d满足（a-b）（b-c）（c-d）＞0，求证：τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d）；
（Ⅲ）设{a_n}各项均不相等，且交换数列{a_n}中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{a_n}一定是递增数列或递减数列．