2007年高考数学综合模拟试卷（三）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A=，则A∩B为（ ）
A．∅
B．{1}
C．[0，+∞）
D．{（0，1）}

2. 难度：中等

若函数的定义域是（-∞，1）∪[2，5），则其值域为（ ）
A．（-∞，0）
B．（-∞，2]
C．
D．

3. 难度：中等

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心
B．垂心
C．内心
D．重心

4. 难度：中等

在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）
A．C₁₄¹²C₁₂⁴C₈⁴
B．C₁₄¹²A₁₂⁴A₈⁴
C．
D．C₁₄¹²C₁₂⁴C₈⁴A₃³

6. 难度：中等

对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；
③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；
④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．
其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

已知首项为正数的等差数列{a_n}满足：a₂₀₀₅+a₂₀₀₆＞0，a_2005•a₂₀₀₆＜0，则使前项S_n＞0成立的最大自然数n是（ ）
A．4009
B．4010
C．4011
D．4012

8. 难度：中等

函数y=（x≠0）的反函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁、B₁C₁的中点，则在面BCC₁B₁内到BC的距离是到EF的距离的2倍的点的轨迹是（ ）
A．一条线段
B．椭圆的一部分
C．抛物线的一部分
D．双曲线的一部分

10. 难度：中等

已知F₁，F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A．4+2
B．-1
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数在上恒正，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．∪
D．

12. 难度：中等

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．（2-2）a万元
B．5a万元
C．（2+1）a万元
D．（2+3）a万元

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=    ．

14. 难度：中等

设点P是曲线y=x³-x+2上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知（xcosθ+1）⁵的展开式中x²的系数与（x+）⁴的展开式中的x³的系数相等，则cosθ=    ．

16. 难度：中等

若函数f（x）满足：对于任意x₁，x₂＞0，都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，则称函数f（x）具有性质M．给出下列四个函数：①y=x³，②y=log₂（x+1），③y=2^x-1，④y=sinx．其中具有性质M的函数是    （注：把满足题意所有函数的序号都填上）

17. 难度：中等

如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a_n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S_n，则S₁₉的值为     ．

18. 难度：中等

已知f（x+y）=f（x）•f（y）对任意的实数x、y都成立，且f（1）=2，则+++…++=    ．

19. 难度：中等

已知向量=（cosθ，sinθ）和=（-sinθ，cosθ），θ∈[π，2π]．
（1）求|+|的最大值；
（2）当|+|=时，求cos（）的值．

20. 难度：中等

甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束．现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是，乙取胜的概率为，且每局比赛的胜负是独立的，试求下列问题：
（Ⅰ）比赛以甲3胜1而结束的概率；
（Ⅱ）比赛以乙3胜2而结束的概率；
（Ⅲ）设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值．

21. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

22. 难度：中等

已知=（c，0）（c＞0），=（n，n）（n∈R），||的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：
①||=||（a＞c＞0）；
②=λ （其中=（，t），λ≠0，t∈R）；
③动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求曲线C的方程；
（Ⅲ）是否存在方向向量为a=（1，k）（k≠0）的直线l，使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且||=||？若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为Q₁，设Q₁点在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列点Q₁，Q₂，…，Q_n，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式a_n；（用k的代数式表示）
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：（注：）．