2010-2011学年上海市十校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=log₂（4x-3）-log₂（2-x）的定义域是    ．

2. 难度：中等

设，若，则实数m=    ．

3. 难度：中等

设A={x|x=2^α•3^β，α，β∈Z且α≥0，β≥0}，B={x|1≤x≤5}，则实数A∩B=    ．

4. 难度：中等

若x∈C，且（i为虚数单位），则x=    ．

5. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，如果s_n是{a_n}的前n项的和，那么等于    ．

6. 难度：中等

在极坐标系中，O为极点，已知，则△AOB的面积为    ．

7. 难度：中等

已知复数z=（x-2）+y•i（x，y∈R），当此复数的模为1时，代数式的取值范围是    ．

8. 难度：中等

若三个数a₁，a₂，a₃的方差为1，则3a₁+2，3a₂+2，3a₃+2的方差为    ．

9. 难度：中等

已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为    ．

10. 难度：中等

已知（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁+a₂+…+a_n-1=29-n，则n=    ．

11. 难度：中等

已知奇函数f（x）在（-∞，0）为减函数，f（2）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集为    ．

12. 难度：中等

记矩阵A=中的第i行第j列上的元素为a_i，j．现对矩阵A中的元素按如下算法所示的方法作变动，直到不能变动为止：若a_i，j＞a_i+1，j，则M←a_i，j，a_i，j←a_i+1，j，a_i+1，j←M，否则不改变，这样得到矩阵B．再对矩阵B中的元素按如下算法所示的方法作变动：若a_i，j＞a_i，j+1，则N←a_i，j，a_i，j←a_i，j+1，a_i，j+1←N，否则不改变，这样得到矩阵C，则C=    ．

13. 难度：中等

平面上三条直线x-2y+1=0，x-1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为    ．

14. 难度：中等

洛萨•科拉茨（Lothar Collatz，1910.7.6-1990.9.26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果它是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到一个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第六项为1，则n的所有可能的取值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

设a₁，a₂，b₁，b₂均不为0，则“”是“关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同”（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件

16. 难度：中等

已知θ为三角形△ABC内角，且sinθ+cosθ=m，若m∈（0，1），则关于△ABC的形状的判断，正确的是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．三种形状都有可能

17. 难度：中等

在棱长为1的正四面体A₁A₂A₃A₄中，记，则a_ij不同取值的个数为（ ）
A．6
B．5
C．3
D．2

18. 难度：中等

若x∈A，且，则称A是“伙伴关系集合”．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，求此圆锥的全面积与体积．

20. 难度：中等

如图，折线段AP→PQ→QC是长方形休闲区域ABCD内规划的一条小路，已知AB=1百米，
AD=a（a≥1）百米，点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上，PQ⊥BC，Q为垂足．
（1）试问点P在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最短路程为多少？
（2）当a=1时，过点P作PM⊥CD，垂足为M．若将矩形PQCM修建为观赏水池，试问点P在圆弧何处，能使水池的面积最大？

21. 难度：中等

已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）
（1）解关于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1；
（2）记f（x）=3•F（1，x），设，若不等式对n∈N*恒成立，求实数a的取值范围；
（3）记g（x）=F（x，2），正项数列a_n满足：，求数列a_n的通项公式，并求所有可能的乘积a_i•a_j（1≤i≤j≤n）的和．

23. 难度：中等

已知曲线，直线l：kx-y-k=0，O为坐标原点．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）当a=-1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q，使得？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若直线l与x轴的交点为P，当a＞0时，是否存在这样的以P为直角顶点的内接于曲线C的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由．