2010-2011学年广东省茂名市高州市南塘中学高三（下）期初数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x∈Z||x|≤a}，则满足A⊊B的实数a可以取的一个值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

若复数z=（a+i）（2+i）（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0.5
B．-1
C．2
D．0

3. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若将函数y=sin2x的图象平移后得到函数y=sin（2x+）的图象，则下面说法正确的是（ ）
A．向右平移
B．向左平移
C．向左平移
D．向右平移

5. 难度：中等

已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2=2+，则（ ）
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂+a₁₂=32，则2a₃+a₁₅的值是（ ）
A．24
B．48
C．96
D．无法确定

7. 难度：中等

如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（ ）

A．i＜10
B．i≤10
C．i≤9
D．i＜9

8. 难度：中等

已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α
B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β
D．存在一个平面β，a⊥β，a⊥β

9. 难度：中等

已知动点P到两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和为2λ（λ≥1），则点P轨迹的离心率的取值范围为（ ）
A．[，1）
B．（，]
C．（0，]
D．（）

10. 难度：中等

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁．即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列“例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设{b_n}是项数为2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，2³，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2010项和S₂₀₁₀可以是
（1）2²⁰¹⁰-1     （2）2¹⁰⁰⁶-2       （3）2^m+1-2^2m-2010-1
其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、解答题

11. 难度：中等

求曲线y=x，y=x²所围成图形的面积    ．

12. 难度：中等

若不等式＞0的解集是（-∞，-5）∪（-2，-1），那么m的值是    ．

13. 难度：中等

在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，AB=AC=1，AD=，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为    ．

14. 难度：中等

现有3人从装有编号为1，2，3，4，5的五个小球的暗箱中每人摸出一只球（摸后不放回），则有两人所摸的小球编号是连号，且三人编号不连号的摸法种数为    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，对其中任何一向量X=（x₁，x₂），定义范数||X||，它满足以下性质：（1）||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此处点乘号为普通的乘号）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．应用类比的方法，我们可以给出空间直角坐标系下范数的定义，现有空间向量X=（x₁，x₂，x₃），下面给出的几个表达式中，可能表示向量X的范数的是    （把所有正确答案的序号都填上）
（1）+2x₂²+x₃²（2） （3）  （4）．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=．
（I）求cos²+cos2A的值．
（II）若a=2，c=，求∠C．

17. 难度：中等

东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1-p．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

各棱长均为2的斜三棱柱ABC-DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE=O，AB=AE，连接AO．
（I）求证：AO⊥平面FEBC．
（II）求二面角B-AC-E的大小．
（III）求三棱锥B-DEF的体积．

19. 难度：中等

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B的两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），试用x₁，x₂表示点M的坐标．
（Ⅱ）是否为定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
（III）设△ABM的面积为S，试确定S的最小值．

20. 难度：中等

已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点．记直线OP的斜率k=f（x）．
（I）同学甲发现：点P从左向右运动时，f（x）不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的判断．
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）．
（III）同学乙发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由：若正确，请求出a的取值范围．

21. 难度：中等

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过点M（3，4），倾斜角为的直线l与圆C：（θ为参数）相交于A、B两点，试确定|MA|•|MB|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，试确定e的最大值．