2010年广东省佛山市高三4月质量检测数学试卷2（理科)（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设U=R，集合，B={x∈Z|x²-4≤0}，则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B={-2，-1}
B．（∁_UA）∪B=（-∞，0）
C．A∪B=[0，+∞）
D．（∁_UA）∩B={-2，-1}

2. 难度：中等

已知向量，，则=（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

3. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知i是虚数单位，使（1+i）ⁿ为实数的最小正整数n为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

5. 难度：中等

已知，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列说法中，不正确的是（ ）
A．“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件
B．命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∃x∈R，sinx＞1
C．命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y不是偶数，则x+y不是偶数”
D．命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则（¬p）∨（¬q）为真命题

7. 难度：中等

已知实数m，n满足0＜n＜m＜1，给出下列关系式：①2^m=3ⁿ；②log₂m=log₃n；③m²=n³．其中可能成立的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是各项均不为零的等差数列，且公差d≠0．设α（n）是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最大的n值，则α（n）=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、解答题

9. 难度：中等

某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2008年北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2010年广州亚运会志愿者750名．现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-1，x∈R，则f（x）的最小正周期是    ．

11. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是    ．

12. 难度：中等

若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为    ．

13. 难度：中等

若等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，前n项的和为S_n，则数列为等差数列，且通项为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b_n}的首项为b₁，公比为q，前n项的积为T_n，则数列为等比数列，通项为     ．

14. 难度：中等

极坐标系中，直线l的极坐标方程为，则极点在直线l上的射影的极坐标是    ．

15. 难度：中等

如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=    ．

16. 难度：中等

已知海岸边A，B两海事监测站相距60nmile，为了测量海平面上两艘油轮C，D间距离，在A，B两处分别测得∠CBD=75°，∠ABC=30°，∠DAB=45°，∠CAD=60°（A，B，C，D在同一个水平面内）．请计算出C，D两艘轮船间距离．

17. 难度：中等

某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度．通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次，并根据等级给予相应的奖惩（如下表）．某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、-5万元．设该企业当年因改造而增加利润为ξ．
（Ⅰ）在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格及其以上等次的概率是多少？
（Ⅱ）求ξ的数学期望．

评价得分	（0，60）	【60，70）	【70，80）	【80，100】
评价等级	不合格	合格	良好	优秀
奖惩 （万元）	-80	30	60	100

18. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足．
（Ⅰ）当λ=1时，求证：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值；
（Ⅲ）求异面直线C₁P与CB₁所成的角的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若a+b=-2，讨论函数f（x）的单调性．

20. 难度：中等

如图，抛物线C₁：y²=8x与双曲线有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）以F₁为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）²+y²=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁，l₂，它们分别与圆M，N相交，且直线l₁被圆M截得的弦长与直线l₂被圆N截得的弦长的比为，试求所有满足条件的点P的坐标．

21. 难度：中等

设a＞0，函数．
（Ⅰ）证明：存在唯一实数，使f（x）=x；
（Ⅱ）定义数列{x_n}：x₁=0，x_n+1=f（x_n），n∈N^*．
（i）求证：对任意正整数n都有x_2n-1＜x＜x_2n；
（ii） 当a=2时，若，证明：对任意m∈N^*都有：．