2010-2011学年湖北省“鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄樊四中、襄樊五中、孝感高中”八校高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=2a，a∈A}，则（ ）
A．A∩B=A
B．A∩B⊆A
C．A∪B=B
D．A∩B⇐A

2. 难度：中等

命题p：若，则与的夹角为钝角．命题q：定义域为R的函数f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）上都是增函数，则f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．下列说法正确的是（ ）
A．“p或q”是真命题
B．“p且q”是假命题
C．^¬p为假命题
D．^¬q为假命题

3. 难度：中等

“a=-1”是“直线a²x-y+6=0与直线4x-（a-3）y+9=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（ ）
A．（5，π）
B．（4，π）
C．（-1，2π）
D．（4，2π）

5. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若C=120°，c=，则（ ）
A．B＞45°
B．A＞45°
C．b＞a
D．b＜a

6. 难度：中等

定义在区间（0，a）上的函数f（x）=有反函数，则a最大为（ ）
A．
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

已知P（x，y）是圆x²+（y-3）²=1上的动点，定点A（2，0），B（-2，0），则的最大值为（ ）
A．12
B．0
C．-12
D．4

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

有下列数组排成一排：如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：则此数列中的第2011项是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

已知点A（0，b），B为椭圆的左准线与x轴的交点．若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为    ．

12. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为    ．

13. 难度：中等

奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（2+x）+f（2-x）=0，且f（1）=9，则f（2010）+f（2011）+f（2012）的值为    ．

14. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，则数列，，，，…，，…的前n项和S_n等于    ．

15. 难度：中等

对于连续函数f（x）和g（x），函数|f（x）-g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为△（f（x），g（x）），则x∈[2，3]时，△（，x²-x）=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，且．
（Ⅰ）求sinA的值；  （Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为3，求a．

17. 难度：中等

已知（x∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求实常数m的值，并给出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（Ⅱ）k为实常数，解关于x的不等式：f（x+k）＞f（|3x+1|）．

18. 难度：中等

在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．
现在老王决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得．
（1）请你帮老王算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；
（2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

19. 难度：中等

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（1）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么k₁•k₂是定值吗？证明你的结论．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=7，a_n+1=3a_n+2^n-1-8n．（n∈N^*）
（Ⅰ）李四同学欲求{a_n}的通项公式，他想，如能找到一个函数f（n）=A•2^n-1+B•n+C（A、B、C是常数），把递推关系变成a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]后，就容易求出{a_n}的通项了．请问：他设想的f（n）存在吗？{a_n}的通项公式是什么？
（Ⅱ）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若不等式S_n-2n²＞p×3ⁿ对任意n∈N^*都成立，求实数p的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x）＞m（1-a²）成立，求实数m的取值范围．