2011年上海市普陀区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设平面向量，，则=    ．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=2+log_ax，（a＞0且a≠1），若f（x）的反函数f^-1（x）的图象经过点（3，4），则a=    ．

3. 难度：中等

已知集合{A=x|lgx≤0}，{B=x|2^x≤1}，则A∪B=    ．

4. 难度：中等

若数列{a_n}对任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+a₁，且a₃=6，则a₂₀=    ．

5. 难度：中等

若直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为    ．

6. 难度：中等

已知sinθ=a，其中θ是第四象限角，则sin2θ=    ．

7. 难度：中等

已知一个球的半径为R，一个平面截该球所得小圆的半径为r，该小圆圆心到球心的距离为d，则d关于r的函数解析式为    ．

8. 难度：中等

抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆2x²+4y²=16的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为    ．

9. 难度：中等

若函数f（arcsinx）=x-1，则=    ．

10. 难度：中等

某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣．图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数X之后，输出的变量S表示的实际意义是    ；若一次采购85台该电子产品，则S=    元．

11. 难度：中等

方程为x²+y²+4x=x-y+1的曲线上任意两点之间距离的最大值为    ．

12. 难度：中等

高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的．即sin（α+β）=    =sinαcosβ+cosαsinβ．（填入推导的步骤）

13. 难度：中等

已知函数f（x）=k•4^x-k•2^x+1-4（k+5）在区间[0，2]上存在零点，则实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是    （写出所有正确结论的编号）
①能构成每个面都是等边三角形的四面体；
②能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；
④能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体．

二、选择题

15. 难度：中等

“x≠0”是“x＜0”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

设a为非零实数，则关于函数f（x）=x²+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（ ）
A．函数f（x）一定是个偶函数
B．函数f（x）一定没有最大值
C．区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间
D．函数f（x）不可能有三个零点

17. 难度：中等

双曲线上到定点（5，0）的距离是6的点的个数是（ ）
A．0个
B．2个
C．3个
D．4个

18. 难度：中等

若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

已知数列（a＞b＞0，n∈N^*），试判定：依据a、b的不同取值，集合含有三个元素，并用列举法表示集合M．

20. 难度：中等

为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准．以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅0.81度，比普通冰箱约节省电能50%，达到国家一级标准．经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放78.5千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳．
（1）一台节能型冰箱在一个月（按30天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到0.1千克）？
（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱．在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？

21. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若当∠A=θ时，取到最大值，求θ的值；
（2）设∠A的对边长a=1，当取到最大值时，求△ABC面积的最大值．

22. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为h（h＞2），动点M在侧棱BB₁上移动．设AM与侧面BB₁C₁C所成的角为θ．
（1）当时，求点M到平面ABC的距离的取值范围；
（2）当时，求向量与夹角的大小．

23. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直线l：y=kx+b上的n个点
（n∈N^*，k、b均为非零常数）．
（1）若数列{x_n}成等差数列，求证：数列{y_n}也成等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且，求a₁+a₂的值；
（3）若点P满足，我们称是向量，，…，的线性组合，{a_n}是该线性组合的系数数列．当是向量，，…，的线性组合时，请参考以下线索：
①系数数列{a_n}需满足怎样的条件，点P会落在直线l上？
②若点P落在直线l上，系数数列{a_n}会满足怎样的结论？
③能否根据你给出的系数数列{a_n}满足的条件，确定在直线l上的点P的个数或坐标？
试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程．[本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分]．