2011年湖南省怀化市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数．z=，则|z|=（ ）
A．0
B．
C．2
D．-2

2. 难度：中等

三对夫妇去上海世博会参观，在中国馆前拍照留念，6人排成一排，每对夫妇必须相邻，不同的排法种数为（ ）
A．6
B．24
C．48
D．72

3. 难度：中等

如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3^x，x＞0}，则A#B=（ ）
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1或x≥2}
D．{x|0≤x≤1或x＞2}

4. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈R，数列{a_n}的通项公式是a_n=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②图象关于直线x=对称”的函数可以是（ ）
A．f（x）=sin（+）
B．f（x）=sin（2x-）
C．f（x）=cos（2x-）
D．f（x）=cos（2x+）

6. 难度：中等

若函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则的展开式中常数项为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

7. 难度：中等

设e1．e2分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•=0，则+的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

8. 难度：中等

命题p：∃x∈R，|x+1|+k＜x，命题q：∀x＞0，y＞0，z＞0＞且x+y+z=1，有k≤++．若“p∧q”为真，则实数K的取值范围是（ ）
A．[-1，6+4]
B．[1，6+4]
C．[-1，16]
D．[1，16]

二、解答题

9. 难度：中等

圆ρ=2cosθ-2sinθ的圆心的直角坐标是    ．

10. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（-1＜ξ＜0）=    ．

11. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM与平面AA₁C₁C所成角的正切值为    ．

12. 难度：中等

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过O，OB=PB=1，0A绕着点0逆时针旋转60°到0D，PD交⊙O于点E则PE的长为    ．

13. 难度：中等

△AOB的三个顶点的坐标是A（1，1），O（0； 0），B（2，-1），P（x，y）是坐标平面内的任一点，满足•≤0，≥0，则•的最小值是    ．

14. 难度：中等

在数列{a_n}．中，如果对任意的n∈N，都有-=e（e为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，e称为比公差．现给出下列命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②如果{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，那么数列{a_nb_n}是比等差数列：
③斐波那契数列{F_n}不是比等差数列；
④若a_n=2^n-1•（n-1），则数列{a_n}为比等差数列，比公差e=2．
其中正确命题的序号是    ．

15. 难度：中等

已知定义域为（O，+∞）的函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（10x）=10f（x），②当x∈（1，10]时，f（x）=x-lgx，②．记区间I_k=（10^k，10^k+1]，其中k∈Z，当x∈I_k（k=0，1，2，3，…）时．f（x）的取值构成区间D_k，定义区间（a，b）的区间长度为b-a，设区间D_k在区间I_k上的补集的区间长度为a_k，则a₁=    ，a_k=    ．

16. 难度：中等

己知在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanA=
（I ）求角A大小；
（II）当a=时，求B的取值范围和b²+c²的取值范围．

17. 难度：中等

袋子A和B中分别装有若干个质地均匀，大小相同的红球和白球，从A中摸出一个球，得到红球的概率是，从B中摸出一个球，得到红球的概率为p．
（Ⅰ）若A，B两个袋子中的球数之比为1：3，将A，B中的球混装在一起后，从中摸出一个球，得到红球的概率是，求p的值；
（Ⅱ）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计三次摸到红球即停止，最多摸球5次，5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知几何体A-BCD的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（I ）求此几何体的体积V：
（II）若F是AE上的一点，且EF=3FA求证：DF∥平面ABC
（III）试探究在棱DE上是否存在点使得AQ丄CQ，并说明理由．

19. 难度：中等

如图，已知圆，经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线1交椭圆于C，D两点
（1）求椭圆的方程
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

20. 难度：中等

数列{a_n}的前W项和为S_n，且S_n={a_n}数列{c_n}，满足c_n=，
（I）求数列{a_n}的通项公式，并求数列{c_n}的前n项和{T_n}；
（II）张三同学利用第（I）问中的T_n设计了一个程序框图（如图），但李四同学认为这个程序如果被执行将会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意李四同学的观点？请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，若函数在区间（t，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（3）求证：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）