2011年四川省成都市双流县高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=i²（1+i）（其中i为虚数单位）的值是（ ）
A．1-i
B．-1-i
C．1+i
D．-1+i

2. 难度：中等

设合集U=R，A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x＞1}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|x＞2}

3. 难度：中等

若=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知曲线C₁：x²+y²-2x=0和曲线C₂：y=xcosθ-sinθ（θ为锐角），则C₁与C₂的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上情况均有可能

5. 难度：中等

关于函数，有下列四个命题：
①其最小正周期为；
②其图象由y=2sin3x向左平移个单位而得到；
③其表达式可以写成；
④在上为单调递增函数；则其中真命题为（ ）
A．①②④
B．②③④
C．①③④
D．①②③

6. 难度：中等

一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：f₁（x）=x³，f₂（x）=|x|，f₃（x）=sinx，f₄（x）=cosx，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法，其中错误的算法为（ ）
A．C₂¹C₄₈⁴+C₂²C₄₈³
B．C₅₀⁵-C₄₈⁵
C．C₂¹C₄₉⁴
D．C₂¹C₄₉⁴-C₄₈³

8. 难度：中等

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量，，n∈N^*．下列命题中真命题是（ ）
A．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等差数列
B．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等比数列
C．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等差数列
D．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等比数列

9. 难度：中等

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，．平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）．则当1≤s≤4时，的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设，且，则△BDF的面积S的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

的展开式中，只有第9项的二项式系数最大，则展开式中含x³的项是第    项．

14. 难度：中等

一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则该球的表面积是    ．

15. 难度：中等

如图，已知椭圆的左、右准线分别为l₁，l₂，且分别交x轴于C，D两点，从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与交于点B，若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于    ．

16. 难度：中等

甲与乙进行一场乒乓球单打比赛时，甲获胜的局数ξ的期望Eξ=2，每场比赛打满3局．在三场比赛中，至少有两场比赛甲胜1局或2局的概率为    ．

17. 难度：中等

已知A、B、C是△ABC的内角，向量，且．
（1）求角A；
（2）若，求b和c的值．

18. 难度：中等

某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：

A小区	低碳族	非低碳族
比例

B小区	低碳族	非低碳族
比例

C小区	低碳族	非低碳族
比例

（1）从A，B，C三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；
（2）在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列和EX．

19. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大小（用反三角函数表示）
（3）求点B₁到平面A₁BD的距离．

20. 难度：中等

已知（a，b为常数）为奇函数，且过点．
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列，证明：数列是等比数列；
（3）令的前n项和，求使成立的最小n值．

21. 难度：中等

已知抛物线C：x²=2my（m＞0）和直线l：y=kx-m没有公共点（其中k、m为常数），动点P是直线l上的任意一点，过P点引抛物线C的两条切线，切点分别为M、N，且直线MN恒过点Q（k，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O点为原点，连接PQ交抛物线C于A、B两点，证明：S_△OAP•S_△OBQ=S_△OAQ•S_△OBP．

22. 难度：中等

设函数；（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值．（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间．（3）当a=2时，对于任意正整数n，在区间上总存在m+4个数a₁，a₂，a₃，…，a_m，a_m+1，a_m+2，a_m+3，a_m+4，使得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由．