2011年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

己知i是虚数单位，实数x，y满足（x+i）i+y=1+2i，则x-y的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={x|2^x-1＞1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＜1}
C．{x|1＜x＜3}
D．∅

3. 难度：中等

函数f（x）=ln-的零点一定位于区间（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（4，5）

4. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A．18π
B．20π
C．64+4π
D．32+8π

5. 难度：中等

若圆（x-a）²+（y-a）²=4上，总存在不同两点到原点的距离等于1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，）
B．（-，-）
C．（-，-）∪（，）
D．（-，）

6. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（ ）
A．
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

若抛物线y²=4x的焦点是F，准线是l，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b

二、解答题

9. 难度：中等

已知n为正偶数，且（x²-）ⁿ的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是    （用数字作答）

10. 难度：中等

已知随机变量x～N（2，σ²），若P（x＜a）=0.32，则p（a≤x＜4-a）的值为    ．

11. 难度：中等

某教育管理部门用问卷调查的方式对当地1000名中学生开展了‘我爱读名著”活动情况调查，x（单位：小时）表示平均半学年度课外读书时间，现按读书时间分下列四种情况进行统计：①0～10小时；②10～20小时；③20～30小时；④30小时以上．如图是此次调查中数据统计过程的算法框图，已知输出的结果是680，则平均半学年度课外读书时间不超过20小时的学生的频率是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x-，g（x）=x²-2ax+4，若∀x₁∈[0，1]∃x_∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设函数．f（x）=x（）^x+，A为坐标原点，A_n为函数y=f（x0I图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量，向量=（1，0），设θ_n为向量与向量的夹角，则θ₁=    ，满足tanθ_k的最大整数n是    ．

14. 难度：中等

如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，，PC=1，则圆O的半径等于    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是    ．

16. 难度：中等

若不等式＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，向量=（sinA，cosA），=（，-1）且•=1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，b+c=3，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某校高三某班在一次体育课内进行定点投篮赛，A、B为两个定点投篮位置，在A处投中一球得2分，在B处投中一球得3分．学生甲在A和B处投中的概率分别是和，且在A、B两处投中与否相互独立．
（1）若学生甲最多有2次投篮机会，其规则是：按先A后B的次序投篮．只有首先在A处投中后才能到B处进行第二次投篮．否则中止投篮，试求他投篮所得积分ξ的分布列和期望Eξ；
（2）若学生甲有5次投篮机会，其规则是：投篮点自由选择，共投篮5次，投满5次后中止投篮，求投满5次时的积分为9分的概率．

19. 难度：中等

如图，在五棱锥P-ABCD中PA 丄平面ABCDE，PA=AB=AE=2BC=2DE=2，∠DEA=∠EAB=∠ABC=90°
（1）求二面角P-DE-A的大小
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．

20. 难度：中等

广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元€值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

21. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=4，点D（4，0），坐标原点为O．圆C上任意一点A在X轴上的影射为点B已知向量=t+（1-t）（t∈R，t≠0）
（1）求动点Q的轨迹E的方程
（2）当t=时，设动点Q关于X轴的对称点为点P，直线PD交轨迹E于点R （异于P点），试问：直线QR与X轴的交点是否为定点，若是定点，求出其坐标；若不是定点，请说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）I的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当it为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．