2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1-i
B．1+i
C．-1+i
D．-1-i

2. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x（x-2）＜0}，B={x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（ ）

A．[0，+∞）
B．（0，+∞）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）

3. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₃a₅=4，则数列{log₂a_n}的前7项和等于（ ）
A．7
B．8
C．2⁷
D．2⁸

4. 难度：中等

已知向量与的夹角是120°，且||=1，||=2．若（+λ）⊥，则实数λ等于（ ）
A．1
B．-1
C．-
D．

5. 难度：中等

运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log₂3和log₃2，则输出M的值是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．-1

6. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²-2ax+c在区间[0，1]上单调递减，且f（m）≤f（0），则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，0]
B．[2，+∞）
C．（-∞，0]∪[2，+∞）
D．[0，2]

7. 难度：中等

设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列命题的正确的是（ ）
A．当m⊂α，n⊂β时，若m∥n，则α∥β
B．当m⊂α，n⊂β时，若m⊥n，则α⊥β
C．当m⊂α，n⊂α，且m、n相交时，若m∥β，n∥β，则α∥β
D．当m⊂α，n⊂β时，若m⊥β，则n⊥α

8. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=l，c=4，B=45°，则sinC等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点共有（ ）
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对

10. 难度：中等

定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

∫⁴|x-2|dx=    ．

12. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=sin，n∈N^*，则S₂₀₁₁=    ．

13. 难度：中等

若以双曲线-y²=1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是    ．

14. 难度：中等

已知平面区域D₁={（x，y）|}，D₂={（x，y）|kx-y+2＜0}．在区域D₁内随机选取一点若点M恰好取自区域D₂的概率为p，且0＜p≤则A的取值范围是    ．

15. 难度：中等

某棋赛采用单循环赛（每两名选手均比赛一盘）方式进行，并规定：每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．今有8名选手参加这项比赛，已知他们的得分互不相等，且按得分从高到低排名后，第二名选手的得分是最后四名选手的得分之和．以下给出五个判断：
①第二名选手的得分必不多于6分；
②第二名选手的得分必不少于6分；
③第二名选手的得分一定是6分；
④第二名选手的得分可能是6.5分；
⑤第二名选手的得分可能是5.5分．
其中正确判断的序号是    （填写所有正确判断的序号）．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx-，x∈R．
（I）设角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的负半轴上，终边过点P（，-），求f（a）的值；
（II）试讨论函数f（x）的基本性质（直接写出结论）．

17. 难度：中等

某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

（I）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（II）根据频率分布直方图填写下面2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计

附：K²=（此公式也可写成x²=）

18. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点£在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．
（I ）求证：EF丄PB；
（II ）试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x++alnx．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）设a=1，g（x）=f′（x），问是否存在实数k，使得函数g（x）（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过抛物线C：x²=4y的焦点F．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过坐标平面上的点F'作拋物线c的两条切线l₁和l₂，它们分别交拋物线C的另一条切线l₃于A，B两点．
（i）若点F′恰好是点F关于-轴的对称点，且l₃与拋物线c的切点恰好为拋物线的顶点（如图），求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F′的位置，或切线l₃的位置，或抛物线C的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明．

21. 难度：中等

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=（）的两^E值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
（I）求实数的值；
（II ）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为，
（a为餓），曲线D的鍵标方程为ρsin（θ-）=-．
（I ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（II）判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
（I）求证：+≥a+b；
（II）利用（I）的结论求函数y=+（0＜x＜1）的最小值．