2011年浙江省宁波市海曙区效实中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=ln（1-x）}，集合B={y|y=x²}，则A∩B=（ ）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．（-∞，1]
D．（-∞，1）

2. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

“直线a∥直线β”是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，则以B，C为焦点，且过D，E的双曲线离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．∀x∈R，e^|x|＞||x|+1
B．∀x＞0，|lnx|≤|x-1|
C．∃x∈（0，），sinx=tan
D．∃x∈（0，），cos2x=1-

6. 难度：中等

两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则抛物线y²=的焦点坐标是（ ）
A．（）
B．
C．
D．

7. 难度：中等

用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为（ ）
A．36
B．48
C．72
D．120

8. 难度：中等

设P为等边△ABC所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

9. 难度：中等

正四面体S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的正切值是（ ）
A．
B．1
C．
D．

10. 难度：中等

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），则不等式f（x²）＜的解集为（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

二、解答题

11. 难度：中等

若复数z满足z+i=，则复数z的模为    ．

12. 难度：中等

已知α为第四象限角，，则tan2α=    ．

13. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是    ．

14. 难度：中等

已知实数x，y满足，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，其中b≠0，则的值为    ．

15. 难度：中等

过点P（4，5）作直线l与x²+y²-4x+6y-9=0交于A，B两点，则|PA|²+|PB|²的最大值为    ．

16. 难度：中等

二项式（1+x）⁹=a+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹，从a，a₁，a₂，…，a₉中任取两个数，记ξ为这两个数中较小的一个，则数学期望Eξ=    ．

17. 难度：中等

已知四面体ABCD中，DA=DB=DC=3，且DA，DB，DC两两互相垂直，点O是△ABC的中心，将△DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角的余弦值的取值范围是    ．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin²（）+2cos²x-．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=3，f（c）=2，若向量与共线，求a，b的值．

19. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，3，…），底边B_nC_n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B₁的坐标为（0，b），b＞0．
（1）若A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一条直线上，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a₁是正整数，A₁，A₂，A₃，…，A_n依次在函数y=x²的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于，求数列{a_n}的通项公式．

20. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2a，AA1=t•a（t＞0，t∈R），∠BAC=120°，
（1）若在BC上存在点D，使DA₁⊥平面AB₁C₁，求实数t的值，并判断D点的位置；
（2）在（1）成立的条件下，求二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值．

21. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=4，A（-1，0），B（1，0），直线l与圆O切于点S（l不垂直于x轴），抛物线过A、B两点且以l为准线，以F为焦点．
（1）当点S在圆周上运动时，求证：|FA|+|FB|为定值，并求出点F的轨迹C方程；
（2）曲线C上有两个动点M，N，中点D在直线y=l上，若直线l′经过点D，且在l′上任取一点P（不同于D点），都存在实数λ，使得，证明：直线l′必过定点，并求出该定点的坐标．

22. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数f（x），当x≤0时，f（x）=3e^-x．
（1）求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）求最大整数m（m＞1），使得存在实数t，对任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤3ex．