2011年北京市清华附中高三统练数学试卷6（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={x|x＞1}，则集合A∩∁_UB等于（ ）
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|-1＜x≤1}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|x≤1}

2. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₂=3，a₃=9，若a_k=243，则k等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．42

3. 难度：中等

设向量，，则“x=2”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2π+
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出地结果S等于（ ）
A．3
B．7
C．11
D．13

6. 难度：中等

给定下列四个命题：
①∃x∈Z，使5x+1=0成立；
②已知命题p：∀x∈R，2^x＞0，那么命题¬p为：∃x∈R，使2^x＜0；
③若两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面平行；
④若两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行．其中真命题个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

若a∈[0，3]，b∈[0，2]，函数f（x）=x²-2ax+b²有零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于各数互不相等的正数数组（i₁，i₂，…，i_n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i_p＜i_q，则称“i_p与i_q”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅）的“顺序数”是4，则（a₅，a₄，a₃，a₂，a₁）的“顺序数”是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

已知复数为纯虚数，则a=    ．

10. 难度：中等

圆C的极坐标方程p=2cosθ化为直角坐标方程为    ，该圆的面积为    ．

11. 难度：中等

已知函数的图象关于原点对称，则b=    ．

12. 难度：中等

如图，PA切⊙O于点A，PA=4，PBC过圆心0，且与圆相交于B、C两点，AB：AC=1：2，则⊙O的半径为    ．

13. 难度：中等

函数 ，若f（x）=1，则x=    ．

14. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为    ．

15. 难度：中等

已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是．
（1）求角A的大小；
（2）求的值．

16. 难度：中等

如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的和．某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到A，B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分．先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动．
（Ⅰ）记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值分别是多少？
（Ⅱ）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由．

17. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（1）求证：CF⊥平面ABB₁；
（2）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（3）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°，若存在，求CE
的长，若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x³-3a²x-4a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≤-1，若∀x₁∈[0，1]，总存在，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若m=1，且，求k的值（O点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

20. 难度：中等

在数列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：当时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由．