2010年江苏省苏州市高考信息数学试卷（正题）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知M={x|lgx²=0}，N={x|2^-1＜2^x+1＜2²，x∈Z}，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

若是纯虚数，则tanθ的值为    ．

3. 难度：中等

若将一枚硬币连续抛掷三次，则出现“至少一次正面向上”的概率为    ．

4. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则=    ．

5. 难度：中等

若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是    ．

6. 难度：中等

图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是    ．

7. 难度：中等

已知正三棱锥P-ABC主视图如图所示，其中△PAB中，AB=PC=2cm，则这个正三棱锥的左视图的面积为    cm²．

8. 难度：中等

从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的平均数为    ．

分数	5	4	3	2	1
人数	20	10	30	30	10

9. 难度：中等

若数列{a_n}满足（k为常数），则称数列{a_n}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{a_n}是以3为公比和的等比和数列，其中a₁=1，a₂=2，则a₂₀₀₉=    ．

10. 难度：中等

动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知，则sin2a=    ．

12. 难度：中等

已知a＞0，设函数的最大值为M，最小值为N，那么M+N=    ．

13. 难度：中等

已知P为抛物线y²=4x的焦点，过P的直线l与抛物线交与A，B两点，若Q在直线l上，且满足，则点Q总在定直线x=-1上．试猜测如果P为椭圆的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A，B两点，若Q在直线l上，且满足，则点Q总在定直线    上．

14. 难度：中等

曲边梯形由曲线y=e^x，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=e^x，x∈[1，5]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是    ．

15. 难度：中等

已知向量．
（I）若，求COS（-x）的值；
（II）记，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

16. 难度：中等

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

17. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围；
（3）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．

19. 难度：中等

设f（x）=x³，等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n=，令b_n=a_nS_n，数列的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式和S_n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围．