2011年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则=（ ）
A．-2i
B．2i
C．-i
D．i

2. 难度：中等

命题∀x∈R，x²-x≥0的否定是（ ）
A．∀x∈R，x²-x≥0
B．∃x∈R，x²-x≥0
C．∀x∈R，x²-x＜0
D．∃x∈R，x²-x＜0

3. 难度：中等

已知向量=（1，1），=（2，y），若||=，则y=（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

4. 难度：中等

等差数列{a_n}前17项和S₁₇=51，则a₅-a₇+a₉-a₁₁+a₁₃=（ ）
A．3
B．6
C．17
D．51

5. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1.3）=p，则P（-1.3＜ξ＜0）=（ ）
A．
B．1-p
C．1-2p
D．

6. 难度：中等

设a＞0，若不等式|x-a|+|1-x|≥1对于任意x∈R恒成立，则a的最小值是（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．2

7. 难度：中等

如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O₁、O₂，这两个球相外切，且球O₁与正方体共顶点A的三个面相切，球O₂与正方体共顶点B₁的三个面相切，则两球在正方体的面AA₁C₁C上的正投影是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于任意实数a、b，当b＞0时，定义运算，则满足方程2*x=（-2）*x的实数x所在的区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

二、解答题

9. 难度：中等

双曲线x²-3y²=3的离心率为    ．

10. 难度：中等

展开式中，常数项是    ．

11. 难度：中等

设函数为奇函数，则k=    ．

12. 难度：中等

命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”学生小夏这样证明：
设a，b与面α分别相交于A、B，连接A、B，
∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α…①
∴a⊥AB，b⊥AB…②
∴a∥b…③
这里的证明有两个推理，即：
①⇒②和②⇒③．老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是    ．

13. 难度：中等

运行如图的流程图，输出的n=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则该圆的半径是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则=    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）试比较与的大小．

17. 难度：中等

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=2相切，求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

18. 难度：中等

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中
点，DE⊥面CBB₁．
（1）证明：DE∥面ABC；
（2）求四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比；
（3）若BB₁=BC，求CA₁与面BB₁C所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：．
（1）求a₂，a₃；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N^*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知，求证：．

20. 难度：中等

某工厂生产A、B两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品．为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数．现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数茎叶图如图所示：
（1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率P_A、P_B；
（2）已知每件产品的利润如表一所示，用ξ、η分别表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及数学期望（均值）Eξ、Eη；
（3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设x、y分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

等级 利润 产品	一等品	二等品
A型	4（万元）	3（万元）
B型	3（万元）	2（万元）

表二

              

表二

项目 用量 产品	配件（件）	资金（万元）
A型	6	4
B型	2	8

21. 难度：中等

如图，在x轴上方有一段曲线弧Γ，其端点A、B在x轴上（但不属于Γ），对Γ上任一点P及点F₁（-1，0），F₂（1，0），满足：．直线AP，BP分别交直线于R，T两点．
（1）求曲线弧Γ的方程；
（2）求|RT|的最小值（用a表示）；
（3）曲线Γ上是否存点P，使△PRT为正三角形？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．