2010年湖北省荆州市高三质量检测数学试卷（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线

2. 难度：中等

设y=f（x）为指数函数y=a^x．在P（1，1），Q（1，2），M（2，3），四点中，函数y=f（x）与其反函数y=f^-1（x）的图象的公共点只可能是点（ ）
A．P
B．Q
C．M
D．N

3. 难度：中等

若对所有实数x，均有sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx=cos^k2x，则k=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

4. 难度：中等

圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．3
D．

5. 难度：中等

已知关于x，y的方程组仅有一组实数解，则符合条件的实数k的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

有一种掷正方体骰子走跳棋的网络游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子开始在第0站，玩家每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，则棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站．游戏规定：若棋子经过若干次跳动恰跳到第99站，则玩家获胜，游戏结束；若棋子经过若干次跳动最后恰跳到第100站，则玩家失败，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P_n（n∈N，n≤100），可以证明：P_n=P_n-1P_n-2（2≤n≤100），则每次玩该游戏获胜的概率是（ ）
A．[1-]
B．[1-]
C．[1-]
D．[1-]

7. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=6，，点P是线段BC₁上的一动点，则AP+PB₁的最小值是（ ）
A．2+
B．不等的实数根．结合图形可知：k∈
C．
D．

8. 难度：中等

已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S_△IPF1=S_△IPF2+λS_△IF1F₂成立，则λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知命题p：a≥-3，命题q：9^-|x-2|-4-3^-|x-2|=0有实根，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

设函数f（x）=（x²-10x+c₁）（x²-10x+c₂）（x²-10x+c₃）（x²-10x+c₄）（x²-10x+c₅），集合M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₉}⊆N^*，设c₁≥c₂≥c₃≥c₄≥c₅，则c₁-c₅为（ ）
A．20
B．18
C．16
D．14

二、解答题

11. 难度：中等

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB，则 =    ．

13. 难度：中等

将一个4×4棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则不同的染法种数有     ．（用数字作答）

14. 难度：中等

已知α，β∈R，直线与
的交点在直线y=-x上，则sinα+cosα+sinβ+cosβ=    ．

15. 难度：中等

若样本a₁，a₂…a_n的方差为3，则样本3a₁+1，3a₂+2…3a_n+1的方差为    ．

16. 难度：中等

已知bcosC=（2a-c）cosB，a+c=4，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．
（1）求角B的大小；    
（2）若b=2，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ应用，如“QQ农场”、“QQ音乐”、“QQ读书”等． 市场调查表明，QQ用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为，，．现有甲、乙、丙三位QQ用户任意选择以上三种应用中的一种进行添加．
（Ⅰ）求三人所选择的QQ应用互不相同的概率；
（Ⅱ）记ξ为三人中选择的应用是QQ农场与QQ音乐的人数之和，求ξ的分布列与数学期望Eξ

18. 难度：中等

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是，求出其大小；若不是，请说明理由；
（3）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₀）．

20. 难度：中等

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=2上动点P（x，y）（xy≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．