2011年四川省宜宾市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x||x|≥2}，B={x|x²-2x-3＜0}，则A∩B=（ ）
A．[2，3）
B．（-∞，-2]∪[2，3）
C．（-∞，-1）∪[2，3）
D．（-∞，-3）∪（1，+∞）

2. 难度：中等

复数z=的虚部为（ ）
A．-
B．-i
C．-
D．-i

3. 难度：中等

已知=-5，那么tanα的值为（ ）
A．-2
B．2
C．
D．-

4. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图1所示，则函数g（x）=log_ax的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

7个人站成一排，若甲、乙2人都不与丙相邻，则不同的排法种数共有（ ）
A．720
B．1440
C．1860
D．2400

6. 难度：中等

各项均为正数的等比数列{a_n}中，若a₄a₇=9，则log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₀=（ ）
A．15
B．12
C．1O
D．5

7. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁A，B₁B的中点，则CM与ND₁所成的角的正弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）在（0，]上单调，且f（）=0，f（）=2，则f（0）=（ ）
A．-1
B．-2
C．-
D．0

9. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象按向里a平移后，得到函数y=f（x-1）-2的图象，则向量a=（ ）
A．（-1，-2）
B．（1，-2）
C．（-1，2）
D．（1，2）

10. 难度：中等

连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN最大值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

11. 难度：中等

已知P是△ABC所在平面内一点，满足||+||=||+||=||+||，则点P是△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心

12. 难度：中等

函数f（x）=，若f（x₁）+f（2x₂）=1，则f（x₁+2x₂）的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

（1+2x）（1-x）¹⁰展开式中x⁴的系数是    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

已知函数f（x）=）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的定义域为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=在（-1，+∞）上连续，则实数    ．

16. 难度：中等

在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为    •

17. 难度：中等

设函数，f（x）=sin（2ωx+φ）在（ω＞0，-π＜φ＜0]，函数y=f（x）的相邻两条对称轴间距离为π，且函数的图象的一个对称中心为I（-，0]．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）在△ABC中，若f（A）=-，f（B）=-，求：角c的大小．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD，底面^BCZ）是边长为2的菱形，其中∠ADC=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=3，E是PD的中点
（I ）求证直线PB∥平面ACE
（II）求点P到平面ACE的距离；
（III）求二面角E-AC-D的大小．

19. 难度：中等

已知甲口袋中有8个大小相同的小球，其中有5个白球，3个黑球；乙口袋中有4个大小相同的小球，其中有2个白球，2 个黑球，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个口袋中共摸出3个小球．
（I ）求从甲、乙两个口袋中分别抽取小球的个数；
（II）求从甲口袋中抽取的小球中恰有一个白球的概率；
（III）记ξ表示抽取的3个小球中黑球的个数，求ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时、f（x）＞-1；
（I）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数；
（II）若f（1）=1，解关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^ax，其中a∈R，x∈R若函数．y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行．
（I）求实数a的值；
（II）求函数y=f（x）的单调区间；
（III）当a＞0时，设g（x）=lnf（x），当，x∈（1，+∞）时，函数g（x）图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的两根，设c_n=，且a₁=1．
（I）求数列{c_n}的通项公式；
（II）设S_n是数列{a_n}的前〃项的和，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N都成立，若存在，求出A的取值范围；若不存在，请说明理由．