2011年江苏省泰州市兴化中学高三调研数学试卷（三）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合A={x|2≤2^x≤8}，B={x|log2^x＞1}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

存在实数x，使得x²-4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是    ．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）=    ．

4. 难度：中等

已知向量，与垂直，||=    ．

5. 难度：中等

△ABC中，三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知B=60°，不等式-x²+6x-8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则b=    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=3sin（ωx-）（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是    ．

7. 难度：中等

若实数m、n∈{-1，1，2，3}，且m≠n，则曲线表示焦点在y轴上的双曲线的概率是    ．

8. 难度：中等

已知||=2||≠0，且关于x的函数f（x）=x³+||x²+•x在R上有极值，则与的夹角范围为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，∠A=，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|²=，则∠B=    ．

10. 难度：中等

不等式|x+|-a+4＞0对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知向量=（1，1），=（0，），设向量=（cosa，sina）（a∈[0，π]），且，则tana=    ．

12. 难度：中等

设a＞1，若函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[，4]上是增函数，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

对于函数f（x）=，下列结论正确的是    ．
①∀x∈R，f（-x）+f（x）=0；
②∃m∈（0，1）使得方程|f（x）|=m有两个不等的实数解；
③∃k∈（1，+ϖ），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
④∀x₁，x₂，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）

14. 难度：中等

设P是椭圆上任意一点，A和F分别是椭圆的左顶点和右焦点，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），定义函数f（x）=
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且c²+ac-a²=bc，求边a所对角A以及f（A）
的大小．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．
（Ⅰ）求证：CD⊥PD；
（Ⅱ）若AD=2，BC=3，F为PD中点，BE=，求证：EF∥平面PAB．

17. 难度：中等

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；
（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

18. 难度：中等

如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．
（1）求圆M和圆N的方程；
（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

19. 难度：中等

设T_n为数列{a_n}的前n项之积，满足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）设，证明数列{b_n}是等差数列，并求b_n和a_n；
（2）设S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求证：a_n+1-＜S_n≤a_n-．

20. 难度：中等

函数．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式对于x∈（1，2）恒成立．