2011年四川省雅安市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={2，3，4}，集合B={1，2，4，5}，，若x∈A且x∉B，则x等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

若虚数i是方程．x²+ax+b=0（其中a，b∈R的一个根，则a+b等于（ ）
A．-1
B．1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

已知Sina=3/5，则cos（π-2a）等于（ ）
A．
B．
C．-
D．-

4. 难度：中等

若x，y分别在，-10，-9，…，-1，0，1，…，10这21个整数中任意取值，则P（x，y）在第二象限的点的个数是（ ）
A．100
B．99
C．121
D．81、

5. 难度：中等

设是相互垂直的单位向量，并且向量，如果，那么实数x等于（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₆-2a₃=2，a₅-2a₂=1，则等比数列{a_n}的公比是（ ）
A．-1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

已知p：ab＜0；q：方程，ax²+by²=c表示双曲线，则p是q（ ）
A．必要不充分
B．充分不必要
C．充要条件
D．既不充分也不必要

8. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+x²，则f′（1）=（ ）
A．-1
B．-2
C．1
D．2

9. 难度：中等

如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（ ）
A．
B．π
C．
D．2π

10. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x），满足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，则有（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．不确定

11. 难度：中等

设双曲线-=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线L过（a，0），（0，b），且原点到L的距离为c，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．或

12. 难度：中等

下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a ₊ b＞c则+＞；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x）=0是函数y=f（x）在x=x处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（ ）
A．①②③④
B．①④
C．②③④
D．②③

二、解答题

13. 难度：中等

二项式（tanx+cotx）⁶展幵式中的常数项是    ．

14. 难度：中等

以原点为圆心的圆完全落在区域内，则圆面积的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=在（-∞，+∞）内连续，则=    ．

16. 难度：中等

给出下列：
①方程2x-log_ax=0的解有1个；
②（x-2）•≥0的解集为[2，+∞）．
③“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件；
④函数y=x³过点A （1，1）的切线是y=3x-2；
⑤△ABC的外接圆的圆心为0，半径为1，2++=，且||=||
则向量在向量方向上的投影为．其中真命题的序号是    （写出所有正确命题的编号）．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sinxcosx-cos²x+sin²x-1．
（ I ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（II）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a、b的值．

18. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，平面PBC丄平面ABC，△PBC是边长为a的正三角形，∠ABC=90°，∠BAC=30°，M是BC的中点．
（I ）求证：AC丄 PB；
（II）求二面角C-PA-M的大小．

19. 难度：中等

某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P₂，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P₂的取值范围．

20. 难度：中等

等差数列{a_n}的首项为a₁，公差d=-1，前n项和为S_n，其中a₁∈{-1，1，2}
（I ）若存在n∈N，使S_n=-5成立，求a₁的值；．
（II）是否存在a₁，使S_n＜a_n对任意大于1的正整数n均成立？若存在，求出a₁的值；否则，说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，离心率e=该椭圆C与直线l：y=x在第一象限交于F点，且直线l被椭圆C截得的弦长为2，过F作倾斜角互补的两直线FM，FN分别与椭圆C交于M，N两点（F与M，N均不重合）．
（I ）求椭圆C的方程；
（ II ）求证：直线MN的斜率为定值；
（III）求三角形FMN面积的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x，使得h（x）＞f（x）成立，试求实数p的取值范围．