2011年河南省五市高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={-1，0，1}，N={|x∈M}，则M∩N=（ ）
A．{1}
B．{0，1}
C．{-1，0，1}
D．∅

2. 难度：中等

复数Z=的模是（ ）
A．
B．2
C．2i
D．1+i

3. 难度：中等

给出两个命题p：|x|=x的充要条件是x为正实数；q：命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀∈R，x²-x≤0”．则下列命题是假命题的是（ ）
A．p且q
B．p或q
C．p
D．p或q

4. 难度：中等

程序框图如下：

如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（ ）
A．k≤10
B．k≥10
C．k≤11
D．k≥11

5. 难度：中等

曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是曲线f（x）=x³-ax的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥1
B．a＞1
C．a≤1
D．a＜1

7. 难度：中等

为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为t₁和t₂，已知两个人在试验中发现对变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，那么下列说法正确的是（ ）
A．t₁和t₂有交点（s，t）
B．t₁和t₂相交，但交点不是（s，t）
C．t₁和t₂必定重合
D．t₁和t₂必定不重合

8. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（-）•sin（+）（x∈R），下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称
D．函数f（x）是奇函数

9. 难度：中等

若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2：1
B．3：1
C．4：1
D．5：1

10. 难度：中等

设函数f（x）=（a＞0，且a≠1），[m]表示不超过实数m的最大整数，则实数[f（x）-]+[f（-x）-]的值域是
（ ）
A．[-1，1]
B．[0，1]
C．{-1，0}
D．{-1，1}

11. 难度：中等

直线L经过双曲（a＞0，b＞0）右焦点F与其一条渐近线垂直且垂足为A，与另一条渐近线交于B点，=，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，）
D．（，2）

二、解答题

13. 难度：中等

△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量，，若，则角B的大小为     ．

14. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F作倾斜角为45°的直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长为16，则p的值等于    ．

15. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，用一段铁丝从几何体的A处缠绕几何体两周到达B处，则铁丝的最短长度为    ．

16. 难度：中等

在区间[0，1]上随机取两个数m，n，则关于函数f（x）=-nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率为    ．

17. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+1．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和．

18. 难度：中等

如图，已知四棱锥的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=，∠ABC=60°．
（Ⅰ）点F为线段PB上一点，PF：FB=2，求证：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．

19. 难度：中等

为了了解大学生在购买饮料时看营养说明是否与性别有关，对某班50人进行问卷调查得到2×2列联表．

	看说明	不看说明	合计
女生		5
男生	10
合计			50

 已知在全部50人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为．
（Ⅰ）请将上面2×2列联表补充完整；
（Ⅱ）已知看营养说明的10位男生中，同时看生产日期的有A₁、A₂、A₃、A₄、A₅；同时看生产厂家的有B_l、B₂、B₃：同时看保质期的有C₁、C₂．现从看生产日期、看生产厂家、看保质期的男生中各选出一名进行其他方面的调查，求B₁和C₁不全被选中的概率；
（Ⅲ）是否有99.5%的把握认为“看营养说明与性别有关”？说明你的理由．

20. 难度：中等

如图，已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且•=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e^x-1．
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+x²，a＞0，讨论F（x）的单调性：
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），若都有f（x₂）-f（x₁）≤a（x₂-x₁）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）对任意的x₂＞x₁＞0，试比较f（x₂）-f（x₁）与g（x₂-x₁）的大小并说明理由．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，点C为圆上一点，AC⊥OP．
（Ⅰ）求证：△ABC∽△POA．
（Ⅱ）若⊙O的直径为10，BC=6，求PA的长．

23. 难度：中等

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a＜0）
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥6；
（Ⅱ）如果∃x∈R，f（x）＜2，求a的取值范围．