2010年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设全集U是实数集，若M={x|}，N={x|}，则M∩C_UN=    ．

2. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

3. 难度：中等

已知|+|=3，|-|=4，则•=    ．

4. 难度：中等

若关于x的方程=0有解，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

函数y=的最小正周期是    ．

6. 难度：中等

arccos（sin）+arcsin（sin）=    ．

7. 难度：中等

，如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是    ．

8. 难度：中等

设A是m阶方阵，定义运算：A•A=A²，Aⁿ⁺¹=A^n_•A（n∈N^*），称这一运算为矩阵的乘方．显然矩阵的乘方满足：对任意的m，n∈N^*，A^m•Aⁿ=A^m+n，设A=，计算A²，A³，A⁴，并对一切正整数n，猜想Aⁿ=    ．

9. 难度：中等

有一技术难题，甲单独解决的概率为，乙单独解决的概率为，现两人单独解决难题，则此难题能被解决的概率是    ．

10. 难度：中等

若（x+1）ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+cx+1（n∈N^*），且a：b=3：1，那么n=    ．

11. 难度：中等

点P是直线2x+y+10=0上的动点，直线PA、PB分别切圆x²+y²=4于A、B两点，则四边形PAOB（O为坐标原点）的面积的最小值=    ．

12. 难度：中等

设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f^-1（x），f （4）=0，则f^-1（4）=    ．

13. 难度：中等

已知点P在双曲线x²-y²=a²（a＞0）的右支上，A₁，A₂分别是双曲线的左、右顶点，且∠A₂PA₁=2∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂=    ．

14. 难度：中等

已知数列{x_n}满足x₂=x₁，x_n=（x_n-1+x_n-2）（n=3，4，5，…），若，则x₁=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

直线y=x+1与曲线的公共点的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

16. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=105，a₂+a₄+a₆=99，以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是（ ）
A．21
B．20
C．19
D．18

17. 难度：中等

△ABC中，若AB=，AC=1，则“∠B=30°”是“△ABC的面积等于”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

18. 难度：中等

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），其方程f（x）=x无实根．现有四个命题①方程f（[f（x）]=x）也一定没有实数根；②a＞0若，则不等式f[f（x）]≥0对一切x∈R成立；③若a＜0，则必存在实数x使不等式f[f（x）]＞x成立；④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x∈R成立．其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

三、解答题

19. 难度：中等

解关于x的不等式：．

20. 难度：中等

已知向量．
（1）若∥，求sinx•cosx的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角B的取值集合为M，当x∈M时，求函数f（x）=的值域．

21. 难度：中等

设f（x）=，g（x）=-x+a（a＞0）
（1）若F（x）=f（x）+g（x），试求F（x）的单调递减区间；
（2）设G（x）=，试求a的值，使G（x）到直线x+y-1=0距离的最小值为；
（3）若不等式对x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

数列{a_n}前n项和为S_n，首项为x（x∈R），满足S_n=（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在x（x∈R），使（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；
（3）求证：x为有理数的充要条件是数列{a_n}中存在三项构成等比数列．

23. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）过焦点F的任一条弦AB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁＞0，y₂＜0
（1）若y₁y₂=-4，求抛物线方程；
（2）是否存在常数λ，使=λ，若存在，求出λ的值，并给予证明，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线对称轴（ox的正方向）上是否存在一定点M，经过点M的任意一条弦AB，使为定值，若存在，则求出定点M的坐标和定值，若不存在，请说明理由．