2009-2010学年福建省八闽高中协作校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设z₁=1+i，z₂=1-i（i是虚数单位），则=（ ）
A．-i
B．i
C．0
D．1

2. 难度：中等

设非空集合A，B满足A⊆B，则（ ）
A．∃x∈A，使得x∉B
B．∀x∈A，有x∈B
C．∃x∈B，使得x∉A
D．∀x∈B，有x∈A

3. 难度：中等

设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

4. 难度：中等

在△ABC中，若，则角B的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．135°
D．45°或135°

5. 难度：中等

若向量=（x-1，2），=（4，y）相互垂直，则9^x+3^y的最小值为（ ）
A．12
B．
C．
D．6

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S为（ ）
A．2
B．
C．-3
D．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（ ）
A．-9
B．9
C．-3
D．0

9. 难度：中等

若双曲线=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义方程f（x）=f'（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A．α＞β＞γ
B．β＞α＞γ
C．γ＞α＞β
D．β＞γ＞α

二、解答题

11. 难度：中等

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数是    ．

12. 难度：中等

已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为    ．

13. 难度：中等

如果n=∫_-2²（sinx+1）dx，则（1+2x）（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数为     ．

14. 难度：中等

若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆（x-1）²+（y-2）²=1相交的概率为    ．

15. 难度：中等

下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交与点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n

下列说法中正确的命题的序号是     （填出所有正确命题的序号）．
①；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（，0）对称

16. 难度：中等

设x∈R，函数f（x）=cos（ωx+ϕ）（ω＞0，）的最小正周期为π，．
（Ⅰ）求ω和ϕ的值；
（Ⅱ）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（Ⅲ）若的取值范围．

17. 难度：中等

一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a₁a₂a₃a₄a₅，其中A的各位数字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为．记ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（例如：A=10101，即表示a₁=a₃=a₅=1，a₂=a₄=0，而ξ=3），当仪器启动一次时，
（1）求ξ=3的概率；
（2）求ξ的概率分布列；
（3）若启动一次出现的数字为A=10101则称这次试验成功，求5次重复试验成功的次数的期望．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁CC₁．
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB=，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

19. 难度：中等

已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）求动点A所在的曲线方程；
（2）若存在点A，使AC⊥AD，试求a的取值范围；
（3）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且AO⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

20. 难度：中等

已知f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*，求证：a_n≤2ⁿ-1．

21. 难度：中等

已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵A．

22. 难度：中等

以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为，（θ为参数），求直线l被圆C截得的弦长．

23. 难度：中等

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，求a的取值范围．