2011年江苏省淮安市洪泽中学高考数学模拟试卷（3）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={x|x=a+b，a∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是    ．

2. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为    ．

3. 难度：中等

若sinθ=-，tanθ＞0，则tan2θ=    ．

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₅•a₇=4a₄²，a₂=1，则a₁=    ．

5. 难度：中等

设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）-g（x）的值域为    ．

6. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），且其导函数f′（x）满足＞0，则当2＜a＜4时f（2^a），f（2），f（log₂a）的大小关系为    ．

7. 难度：中等

已知点M（x，y）满足若ax+y的最小值为3，则a的值为    ．

8. 难度：中等

已知b＜a＜0，且ab=1，则取得最小值时，a+b等于    ．

9. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=．现有如下四个结论：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A-BEF的体积为定值；
④异面直线AE、BF所成的角为定值，
其中正确结论的序号是    ．

10. 难度：中等

已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的顶点E、H分别在△ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是     ．

11. 难度：中等

已知椭圆，F₁，F₂是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF₁|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x+a，x∈[0，3]的任意三个不同的函数值总可以作为一个三角形的三边长，则实数a的取值范围    ．

13. 难度：中等

已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=x（x∈N），b_n+1=|b_n-b_n-1|（n≥2，n∈N），若前100项中恰好含有30项为0，则x的值为    ．

14. 难度：中等

将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为    ．

15. 难度：中等

已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a+c=4，求边长b．

16. 难度：中等

如图所示，在直四棱柱M中，DB=BC，MN，点EN是棱MN上一点．
（1）求证B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

17. 难度：中等

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

18. 难度：中等

如图，抛物线C₁：y²=8x与双曲线有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）以F₁为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）²+y²=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁，l₂，它们分别与圆M，N相交，且直线l₁被圆M截得的弦长与直线l₂被圆N截得的弦长的比为，试求所有满足条件的点P的坐标．

19. 难度：中等

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知：函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）设a＞0，证明对任意的，|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|