2010年河北省石家庄市正定中学高考百日摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U=R，A={x|0≤x≤2}，B={y|y=x+1，x∈A}，则A∩C_UB=（ ）
A．[0，2]
B．[1，3]
C．（1，3]
D．[0，1）

2. 难度：中等

（中数量积）已知平面向量a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），若|a|=2，|b|=3，a•b=-6，则的值为（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

3. 难度：中等

有一种波，其波形为函数y=sin（x）的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

4. 难度：中等

已知函数时，则f（f（f（a）））的值为（ ）
A．
B．
C．-2
D．2

5. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．
B．[2，+∞）
C．（0，2]
D．

6. 难度：中等

已知，则|a|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|的值是（ ）
A．0
B．2⁵
C．2¹⁰
D．4¹⁰

7. 难度：中等

设m、n都是不大于6的自然数，则方程C₆^mx²-C₆ⁿy²=1表示双曲线的个数是（ ）
A．6
B．12
C．16
D．15

8. 难度：中等

在△ABC中，给出下列四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC必是等腰三角形；
②若sinA=cosB，则△ABC必是直角三角形；
③若cosA•cosB•cosC＜0，则△ABC必是钝角三角形；
④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1，则△ABC必是等边三角形．
以上命题中正确的命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知命题P：|3^|2x-1|-2|≤1；命题Q：，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

10. 难度：中等

已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，对于点（x，y）满足：“xy≥0且|x|+|y|≤1”，目标函数，那么满足z=-2的解（x，y）有（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．无数

12. 难度：中等

如图所示，在平行四边形ABCD中，，沿BD折在直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

设a、=    ．

14. 难度：中等

已知点及抛物线上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值为    ．

15. 难度：中等

在北纬60°圈上有A，B两地，它们在此纬度圈上的弧长等于（R是地球的半径），则A，B两地的球面距离为    ．

16. 难度：中等

给出下列五个命题：
①函数的图象的对称中心是点（1，1）；②函数y=sinx在第一象限内是增函数；③已知a，b，m均是负数，且；④若直线l∥平面α，直线l⊥直线m，直线m⊂平面β，则β⊥α；⑤当椭圆的离心率e越接近于0时，这个椭圆的形状就越接近于圆．其中正确命题的序号为    ．

17. 难度：中等

已知A、B两点的坐标分别为
（Ⅰ）求||的表达式；
（Ⅱ）若（O为坐标原点），求tanx的值；
（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．

18. 难度：中等

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f₁（x）=x，f₂（x）=x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小．

20. 难度：中等

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N*）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²-2x）e^-x（a∈R）．
（1）当a≥0时，求f（x）的极值点；
（2）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求出a的取值范围．

22. 难度：中等

F₁、F₂分别是双曲线x²-y²=1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．向量在向量方向的投影是p．
（1）根据条件求出b和k满足的关系式；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）当=m，且满足2≤m≤4时，求△AOB面积的取值范围．