2011年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知关于x的实系数方程x²+bx+c=0的一个根是2+i，其中i是虚数单位，则实数b=    ．

2. 难度：中等

不等式的解集是    ．

3. 难度：中等

若向量，，则等于    ．

4. 难度：中等

椭圆2x²+3y²=6的焦距为    ．

5. 难度：中等

写出系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是    ．

6. 难度：中等

已知，则sin2θ的值为    ．

7. 难度：中等

将函数y=3tan2x的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数解析式是    ．

8. 难度：中等

在的展开式中，x²的系数是，则实数a=    ．

9. 难度：中等

若x是函数的零点，且0＜x₁＜x，则f（x₁）与0的大小关系是    ．

10. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₃a₅a₇=1，则lga₁+lga₉的值等于    ．

11. 难度：中等

有甲、乙、丙、丁四人参加广州亚运会某项射击选拔赛的平均成绩依次是8.5、8.8、9.1、9.1，方差依次是1.7、2.1、1.7、2.5，则参加亚运会该项目角逐的最佳人选是    ．

12. 难度：中等

已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}满足，若，则a₂₀₀₄的值为    ．

14. 难度：中等

设定义在D上的两个函数f（x）、g（x），其值域依次是[a，b]和[c，d]，有下列4个命题：
①“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）对任意x₁、x₂∈D恒成立”的充要条件；
②“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）对任意x₁、x₂∈D恒成立”的充分不必要条件；
③“a＞d”是“f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立”的充要条件；
④“a＞d”是“f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立”的充分不必要条件．
其中正确的命题是    （请写出所有正确命题的序号）．

二、选择题

15. 难度：中等

过点（1，0）且与直线x-2y-2=0的法向量垂直的直线方程是（ ）
A．x-2y+1=0
B．x-2y-1=0
C．2x+y-2=0
D．x+2y-1=0

16. 难度：中等

定义运算：，则函数f（x）=1⊗2^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

设{|a_n|}（n∈N^*）是递增的等比数列，对于给定的k（k∈N^*），若，则数列{a_n}（n=1，2，3，…，k）的个数为（ ）
A．2个
B．4个
C．2^k个
D．无穷多个

三、解答题

19. 难度：中等

已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=8，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

若斜率为2的动直线l与抛物线x²=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
（1）若线段AB上的点P满足，求动点P的轨迹方程；
（2）对于（1）中的点P，若点O关于点P的对称点为Q，且，求直线l在y轴上截距的取值范围．

21. 难度：中等

如图，在一条笔直的高速公路MN的同旁有两个城镇A、B，它们与MN的距离分别是akm与8km（a＞8），A、B在MN上的射影P、Q之间距离为12km，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元．设计部门提交了以下三种修路方案：
方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；
方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K，并在K点修一个公共立交出入口；
方案③：从A修一条普通公路到B，再从B修一条普通公路到高速公路，也只修一个立交出入口．请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）为偶函数．
（1）求常数k的值；
（2）当x取何值时函数f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（3）设（a≠0），且函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，，对任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又数列a_n满足，设．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（2）证明数列f（a_n）是等比数列，并求f（a_n）的表达式和的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．