2011年河北省衡水市冀州中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A．
B．
C．-
D．2

2. 难度：中等

命题p：若，则与的夹角为钝角．命题q：定义域为R的函数f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）上都是增函数，则f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．下列说法正确的是（ ）
A．“p或q”是真命题
B．“p且q”是假命题
C．^¬p为假命题
D．^¬q为假命题

3. 难度：中等

“a=-1”是“直线a²x-y+6=0与直线4x-（a-3）y+9=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若C=120°，c=，则（ ）
A．B＞45°
B．A＞45°
C．b＞a
D．b＜a

5. 难度：中等

定义在区间（0，a）上的函数f（x）=有反函数，则a最大为（ ）
A．
B．
C．
D．2

6. 难度：中等

有下列数组排成一排：如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：则此数列中的第2011项是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设{|a_n|}（n∈N^*）是递增的等比数列，对于给定的k（k∈N^*），若，则数列{a_n}（n=1，2，3，…，k）的个数为（ ）
A．2个
B．4个
C．2^k个
D．无穷多个

8. 难度：中等

来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有（ ）
A．12种
B．48种
C．90种
D．96种

9. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图展示了一个由区间（0，4）到实数集R的映射过程：区间（0，4）中的实数m对应数轴上的点M（如图），将线段AB围成一个正方形，使两端点A、B恰好重合（如图），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上，点A的坐标为（0，4）（如图），若图中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．现给出以下命题：
①f（2）=0；
②f（x）的图象关于点（2，0）对称；
③f（x）在（3，4）上为常数函数；④f（x）为偶函数．
其中正确命题的个数有（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

已知函数f（x）满足：
①定义域为R；
②∀x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1．
则方程f（x）=log₄|x|在区间[-10，10]内的解个数是（ ）
A．20
B．12
C．11
D．10

12. 难度：中等

在四面体S-ABC中，，二面角S-AC-B的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A．
B．
C．6π
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=在（-∞，+∞）内连续，则=    ．

14. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，则数列，，，，…，，…的前n项和S_n等于    ．

15. 难度：中等

对于连续函数f（x）和g（x），函数|f（x）-g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为（f（x），g（x）），则（，-x）=    ．

16. 难度：中等

当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，记
S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…N（2ⁿ）（n∈N），则S（n）=    ．

17. 难度：中等

已知向量，，函数．
（Ⅰ）若f（x）=1，求的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求f（2B）的取值范围．

18. 难度：中等

桌面上有三颗均匀的骰子（6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．重复下面的操作，直到桌面上没有骰子：将骰子全部抛掷，然后去掉哪些朝上点数为奇数的骰子．记操作三次之内（含三次）去掉的骰子的颗数为X．
（Ⅰ）求P（X=1）；     （Ⅱ）求X的分布列及期望EX．

19. 难度：中等

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD的射影是O．
（Ⅰ）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点E，F分别在棱上AA₁，BC上，且AE=2EA₁，问点F在何处时，EF⊥AD；
（Ⅲ）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B的大小（用反三角函数表示）．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足S_n+S_n-1=ta_n²（t＞0，n≥2），且a₁=0，n≥2时，a_n＞0．其中S_n是数列a_n的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若对于n≥2，n∈N*，不等式++…+＜2恒成立，求t的取值范围．

21. 难度：中等

已知动圆P过点N（2，0）并且与圆M：（x+2）²+y²=4相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线l与轨迹W交于A、B两点．
（1）求轨迹W的方程；
（2）若2=，求直线l的方程；
（3）对于l的任意一确定的位置，在直线x=上是否存在一点Q，使得•=0，并说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（Ⅰ）求f（x）=x³+ax²+bx在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围．