2009-2010学年上海市宝山区吴淞中学高三（下）3月月考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知全集U为实数集，A={x|x²-2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩C_UB=    ．

2. 难度：中等

已知向量，，若与的夹角大小为90°，则实数k的值为    ．

3. 难度：中等

若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（x）=    ．

4. 难度：中等

若α是第四象限角，，则sinα=    ．

5. 难度：中等

直线方程=0的一个法向量的是    ．

6. 难度：中等

把函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值是    ．

7. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为    ．

8. 难度：中等

阅读如图所示的流程图，则该程序输出的结果是    ．

9. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，
有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）    ．

10. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差为d，若a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇的方差为1，则d=    ．

11. 难度：中等

（理）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为    ．
（文）若D是由所确定的区域，则圆x²+y²=4在D内的弧长为    ．

12. 难度：中等

若（2x-1）⁹展开式的第9项的值为12，则=    ．

13. 难度：中等

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n-mi）为实数的概率为    ．

14. 难度：中等

已知m，n，t均为实数，[u]表示不超过实数u的最大整数，若对任意实数x恒成立，且m（1-P）+n（1+P）+t=0（n＞m＞0），则实数P的最大值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n的值为（ ）
A．-24
B．-36
C．36
D．48

16. 难度：中等

下列所给的四个命题中，不是真命题的为（ ）
A．两个共轭复数的模相等
B．z∈R
C．|z₁|=|z₂|⇔z₁=±z₂
D．

17. 难度：中等

命题甲：实数x，y满足x²+y²≤4；命题乙：实数x，y满足x²+y²≤2x，则命题甲是命题乙的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

18. 难度：中等

已知数列{x_n}的项数为定值p（p∈N^*，p＞2），其中x_i∈{u，v}（i=1，2，…，p）．若存在一个正整数t（2≤t≤p-1），使数列{x_n}中存在连续的t项和该数列中另一个连续的t项恰好按次序对应相等，则称数列{x_n}是“t阶Γ数列”，例如，数列{x_n}：u，v，v，u，v．因为x₁，x₂与x₄，x₅按次序对应相等，所以数列{x_n}是“2阶Γ数列”．若项数为p的数列{x_n}一定是“3阶Γ数列”，则p的最小值是（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，设a，b，c是角A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且．
（I）求角B的度数；
（II）若，求b的值．

20. 难度：中等

（理）设6张卡片上分别写有函数f₁（x）=x、f₂（x）=x²、f₃（x）=x³、f₄（x）=sinx、f₅（x）=cosx和f₆（x）=lg（|x|+1）．
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数
的概率；
（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
（文）已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ） 求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ） 是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）设，求t的取值范围；
（Ⅱ）关于x的方程f（x）-m=0，x∈[0，1]，存在这样的m值，使得对每一个确定的m，方程都有唯一解，求所有满足条件的m．
（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，存在正数β，使得不等式成立的最小正数α=2，并求此时的最小正数β．

23. 难度：中等

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求a₁的值；当n=3时，数列a₁，a₂，a₃是否成等比数列，试说明理由；
（3）由（2）及通过对A的探究，试写出关于数列a₁，a₂，…，a_n的一个真命题，并加以证明．