2011年甘肃省高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数的实部和虚部互为相反数，则b的值等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

已知等于（ ）
A．
B．7
C．
D．-7

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₂+a₄+2a₉=12，则此数列前11项的和S₁₁等于（ ）
A．11
B．33
C．66
D．99

4. 难度：中等

将函数y=3sin（2x+θ）的图象F₁按向量平移得到图象F₂，若图象F₂关于直线对称，则θ的一个可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

有一道数学题含有两个小题，全做对者得4分，只做对一小题者得2分，不做或全错者得0分．某同学做这道数学题得4分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为c，其中a，b，c∈（0，1），且该同学得分ξ的数学期望的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

6. 难度：中等

在△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形

7. 难度：中等

上海世博园区志愿者部要将5名志愿者分配到三个场馆服务，每个场馆至少1名，至多2名，则不同的分配方案有（ ）
A．30种
B．90种
C．180种
D．270种

8. 难度：中等

已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，且满足l⊄α，l⊄β，现有：①l∥β；②l⊥α；③α⊥β．以其中任意两个为条件，另一个为结论，可以得出三个命题，其中真命题的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

9. 难度：中等

已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x²+y²-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
A．3
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x），g（x）都有反函数，且函数f（x+2）和g^-1（x-3）的图象关于直线y=x对称，若g（3）=2009，则f（5）等于（ ）
A．2009
B．2010
C．2011
D．2012

11. 难度：中等

已知点F是双曲线的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是锐角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（1，+∞）
C．
D．

12. 难度：中等

如图是棱长为2的正方体的侧面展开图，点J，K分别是棱EC，HR的中点，则在原正方体中，直线MJ和直线QK所成角的余弦值为（ ）

A．0
B．1
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

曲线y=x²-x上点A（2，2）处的切线与直线2x-y+5=0的夹角的正切值为    ．

14. 难度：中等

若在（x+3y²）ⁿ的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为512，那么展开式中的常数项等于    ．

15. 难度：中等

已知直线l_1：2x-3y-6=0和直线l₂：y+1=0则抛物线上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是    ．

16. 难度：中等

若直角三角形的两条直角边长度分别为a，b，则此三角形的外接圆半径，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R=    ．

17. 难度：中等

已知向量．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数上的值域．

18. 难度：中等

甘肃省某重点中学在2011年录用教师时，每一个应聘人员都需要进行初审、笔试、面试、试讲4轮考查，每轮合格者进入下一轮考查，否则被淘汰．已知某应聘人员能通过初审、笔试、面试、试讲4轮考查的概率分别为，且各轮能否通过互不影响．
（1）求该应聘人员至多进入面试的概率；
（2）该应聘人员在选拔过程中被考查的环节个数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角A-DE-B的大小；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设{a_n}，{b_n}都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（1）证明数列{b_n}是等差数列；
（2）如果a₁=1，b₁=2，记数列的前n项和为S_n，问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对任意n∈N^*都成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知A（0，1），B（0，-1），且．
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若直线y=x+b与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足，求实数b的取值．

22. 难度：中等

已知函数（m∈R，e是自然常数）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x＞0时，设f（x）的反函数为f^-1（x），若0＜p＜q，试比较f（q-p），f^-1（q-p）及f^-1（q）-f^-1（p）的大小．