2010-2011学年上海市十三校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z满足i•（3+z）=-1（其中i为虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=arcsinx的定义域为，则此函数的值域为    ．

3. 难度：中等

有一组统计数据共10个，它们是：2、4、4、5、5、6、7、8、9、x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为    ．

4. 难度：中等

某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的结果a=    ．

5. 难度：中等

在极坐标系中，极点到直线的距离为    ．

6. 难度：中等

在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则n=    ．

7. 难度：中等

已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为    ．

9. 难度：中等

设圆x²+y²=4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为    ．

10. 难度：中等

从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意抽取三个数，其中至少有两个数是连续整数的概率是    ．

11. 难度：中等

定义区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁，已知函数的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大值与最小值的差为    ．

12. 难度：中等

已知a为常数，a＞0且a≠1，指数函数f（x）=a^x和对数函数g（x）=log_ax的图象分别为C₁与C₂，点M在曲线C₁上，线段OM（O为坐标原点）与曲线C₁的另一个交点为N，若曲线C₂上存在一点P，且点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，则点P的坐标为    ．

13. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项之和．若不等式对任何等差数列{a_n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为    ．

14. 难度：中等

某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；②对任意实数x，f（x）＞0均成立；③函数的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a³＞b³，不正确的不等式的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

16. 难度：中等

“函数f（x）在[a，b]上为单调函数”是“函数f（x）在[a，b]上有最大值和最小值”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

17. 难度：中等

已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（ ）
A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半
B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半
C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半
D．不一定能构成一个三角形

18. 难度：中等

已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y²=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）

A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（1）求证：BC⊥PC；
（2）求点A到平面PBC的距离．

21. 难度：中等

设，，定义一种向量运算：，已知，，点P（x，y）在函数g（x）=sinx的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数，且h（x）的定义域为，值域为[2，5]，求a，b的值．

22. 难度：中等

将数列{a_n}  中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…构成的数列为{b_n}，已知：
①在数列{b_n}  中，b₁=1，对于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③．请解答以下问题：
（1）求数列{b_n}  的通项公式；
（2）求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和S（k）；
（3）若关于x的不等式在上有解，求正整数k的取值范围．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN
必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y²=2px（p＞0）写出一个更一般的结论，并加以证明．