2011年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知α：x≥a，β：|x-1|＜1．若α是β的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a≤0
C．a≥2
D．a≤2

2. 难度：中等

四棱锥S-ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，且四棱锥及其三视图如下（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S-ABCD的侧面积（ ）

A．
B．20
C．
D．

3. 难度：中等

已知直线l：ax+by=1，点P（a，b）在圆C：x²+y²=1外，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定

4. 难度：中等

现给出如下命题：
（1）若直线l与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l⊥平面α；
（2）已知z∈C，则|z²|=z²；
（3）某种乐器发出的声波可用函数y=0.001sin400πt（t∈R⁺）来描述，则该声波的频率是200赫兹；
（4）样本数据-1，-1，0，1，1的标准差是．
则其中正确命题的序号是（ ）
A．（1）、（4）
B．（1）、（3）
C．（2）、（3）、（4）
D．（3）、（4）

二、解答题

5. 难度：中等

函数的定义域是    ．

6. 难度：中等

已知全集U={-2，-1，0，1，2}，集合，则C_UA=    ．

7. 难度：中等

已知函数y=f^-1（x）是函数f（x）=2^x-1（x≥1）的反函数，则f^-1（x）=    要求写明自变量的取值范围）．

8. 难度：中等

双曲线2x²-3y²=1的渐近线方程是    ．

9. 难度：中等

若函数与函数g（x）=5tan（ax-1）+2的最小正周期相同，则实数a=    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，S_n（n∈N^*）是数列的前n项和，则  =    ．

11. 难度：中等

直线，l₂：x+5=0，则直线l₁与l₂的夹角为=    ．

12. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是3，点M、N分别是棱AB、AA₁的中点，则异面直线MN与BC₁所成的角是    ．

13. 难度：中等

已知是平面上两个不共线的向量，向量，．若，则实数m=    ．

14. 难度：中等

已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V_圆柱：V_球=    （用数值作答）．

15. 难度：中等

的二项展开式中的常数项是    （用数值作答）．

16. 难度：中等

一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为    ．

17. 难度：中等

已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角β的终边与单位圆交点的横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα=    ．

18. 难度：中等

已知点A（x₁，x₁²）、B（x₂，x₂²）是函数y=x²的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x₁，lgx₁）、B（x₂，lgx₂）是函数y=lgx（x∈R⁺）的图象上的不同两点，则类似地有    成立．

19. 难度：中等

在△ABC中，记∠BAC=x（角的单位是弧度制），△ABC的面积为S，且．
（1）求x的取值范围；
（2）就（1）中x的取值范围，求函数的最大值、最小值．

20. 难度：中等

某小型工厂安排甲乙两种产品的生产，已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料A、B、C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：

原材料	甲（吨）	乙（吨）	资源数量（吨）
A	1	1	50
B	4		160
C	2	5	200

如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？

21. 难度：中等

已知函数，数列{a_n}满足a₁=a（a≠-2，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（2）当a₁=2时，记，证明数列{b_n}是等比数列，并求出通项公式a_n．

22. 难度：中等

已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．

23. 难度：中等

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线（p是正常数）的距离为d₁，到点的距离为d₂，且d₁-d₂=1．（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l 过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线 的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证=；
（3）记S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FEN（A、B、M、N是（2）中的点），，求λ 的值．