2011年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x≤0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|-1＜x≤0}
C．{x|-1＜x＜1}
D．{x|-1＜x≤2}

2. 难度：中等

若复数（1-i）（a+i）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

3. 难度：中等

已知向量=（2，-3），=（x，6），，则|的值为（ ）
A．
B．
C．5
D．13

4. 难度：中等

函数在区间（1，+∞）上（ ）
A．是减函数
B．是增函数
C．有极小值
D．有极大值

5. 难度：中等

阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为．（ ） 

A．2
B．3
C．4
D．5

6. 难度：中等

“a＞b”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（ ）
A．96
B．114
C．128
D．136

8. 难度：中等

如图所示，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD₁上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（ ）

A．4π
B．2π
C．π
D．

二、解答题

9. 难度：中等

为了了解某地居民月均用电的基本情况，抽取出该地区若干户居民的用电数据，得到频率分布直方图如图3所示，若月均用电量在区间[110，120）上共有150户，则月均用电量在区间[120，150）上的居民共有    户．

10. 难度：中等

以抛物线C：y²=8x上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点，那么该圆的方程为    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，若a₄+2a₆+a₈=12，则该数列前11项的和为    ．

12. 难度：中等

△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知，a=2b，则b的值为    ．

13. 难度：中等

某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师最多是    名．

14. 难度：中等

 如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC=1，∠BCD=30°，则圆O的面积为    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，若过点（1，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）当x取什么值时，函数f（x）取得最大值，并求其最大值；
（2）若θ为锐角，且，求tanθ的值．

17. 难度：中等

某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2．若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润（即数学期望）为4.9元．

等级	一等品	二等品	三等品	次品
P	0.6	a	0.1	b

表1   

等级	一等品	二等品	三等品	次品
利润	6	5	4	-1

表2
（1）求a，b的值；
（2）从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A₁A=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3，求二面角C-BC₁-D的正切值．

19. 难度：中等

已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l₁垂直于x轴，动点P在l₁上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l₂是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l₂的距离最短时，求直线l₂的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且，令g（x）=f（x）-|λx-1|（λ＞0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

21. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x₁，x₂∈R，存在正实数L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立．
（1）若，求L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…．
①证明：；
②令，证明：．