1. 难度:中等 | |
设顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4),过P作抛物线的动弦PA,PB,并设它们的斜率分别为kPA,kPB. (1)求抛物线的方程; (2)若kPA+kPB=0,求证直线AB的斜率为定值,并求出其值; (3)若kPA•kPB=1,求证直线AB恒过定点,并求出其坐标. |
2. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=x3+x. (1)指出f(x)在定义域R上的奇偶性与单调性(只要求写出结论,无须证明); (2)已知实数a,b,c满足a+b>0,b+c>0,c+a>0,试判断f(a)+f(b)+f(c)与0的大小,并加以证明. |
3. 难度:中等 | |
已知数列{an},a1=1,an=3n-1an-1(n≥2,n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ![]() (3)求数列{|bn|}的前n项和Tn. |
4. 难度:中等 | |
设函数f(x)定义在R上,f(0)≠0,且对于任意a,b∈R,都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b). (1)求证:f(x)为偶函数; (2)若存在正数m使f(m)=0,求证:f(x)为周期函数. |
5. 难度:中等 | |
已知f(x)=![]() (Ⅰ)求实数a的值组成的集合A; (Ⅱ)设关于x的方程f(x)= ![]() |
6. 难度:中等 | |
如图,点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N. (1)求证:CC1⊥MN; (2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明. ![]() |
7. 难度:中等 | |
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(4)=1, (1)求证:f(1)=0; (2)求f( ![]() (3)解不等式f(x)+f(x-3)≤1. |
8. 难度:中等 | |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c,满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R). (1)求证:两函数的图象交于不同的两点A,B; (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围. |
9. 难度:中等 | |
设A、B是双曲线![]() (I)求直线AB的方程 (II)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么? |
10. 难度:中等 | |
已知f(x)=sinxcosx-![]() (1)求m的取值范围; (2)求函数g(x)的两零点之和. |