2011年哈尔滨三中、东北育才、大连育明、天津耀华四校高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，复数z₁=1+i，z₂=2i-1，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若实数x，y满足约束条件的最大值为（ ）
A．
B．11
C．0
D．9

4. 难度：中等

椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

执行如右图所示的程序框图输出的结果是（ ）

A．2
B．-2
C．3
D．-3

6. 难度：中等

不等式的解集记为p，关于x的不等式x²+（a-1）x-a＞0的解集记为q，已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-2，-1]
B．（-2，-1〕
C．ϕ
D．[-2，+∞）

7. 难度：中等

已知曲线C₁：x²+y²-2x=0和曲线C₂：y=xcosθ-sinθ（θ为锐角），则C₁与C₂的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上情况均有可能

8. 难度：中等

设数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（ ）
A．1033
B．1034
C．2057
D．2058

9. 难度：中等

某品牌香水瓶的三视图如下（单位：cm）则该几何体的表面积为（ ）cm．

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且，则AD的长为（ ）
A．
B．
C．1
D．2

11. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

12. 难度：中等

如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，则平面ACD₁截球O的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若幂函数f（x）的图象过点（-8，4），则该幂函数的解析式为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=|sinx•cosx-sin²x|的最小正周期是    ．

15. 难度：中等

若直线与曲线C：x²-y²=2有两个不同交点，则实数t的取值范围是    ．

16. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（2x）＜0的解集为    ．

17. 难度：中等

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设的前n项和S_n．

18. 难度：中等

某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：
（I）求获得参赛资格的人数；
（II）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩．

19. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B₁C₁中点．
（I）求证：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（II）求三棱锥E-A₁FD的体积．

20. 难度：中等

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点，F₂（1，0）为焦点的抛物线的一部分，是曲线C₁和C₂的交点．
（I）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线的方程；
（II）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，与曲线C₂交于C，D两点，求△CDF₁面积的取值范围．

21. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与x轴相切于点（-3，0），且函数存在极值．
（I）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（II）过函数y=f（x）图象上一点P₁（x₁，y₁）（P₁不是y=f（x）图象的对称中心）作曲线的切线，切于不同于P₁（x₁，y₁）的另一点P₂（x₂，y₂），再过P₂（x₂，y₂）作曲线的切线切于不同于P₂（x₂，y₂）的另一点P₃（x₃，y₃），…，过P_n（x_n，y_n）作曲线的切线切于不同于P_n（x_n，y_n）的另一点P_n+1（x_n+1，y_n+1），求x_n与x_n+1的关系．

22. 难度：中等

如图△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D．
（I）求证：AC²=AP•AD；
（II）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．

23. 难度：中等

（选做题）已知直线l经过点P（1，1），且l的一个方向向量．
（I）写出直线l的参数方程；
（II）设l与圆x²+y²=9相交于两点A、B，求点P到A、B两点间的距离之积．

24. 难度：中等

已知：．