2011年上海市宝山区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若=a+bi（i是虚数单位，a，b∈R），则乘积ab的值是    ．

2. 难度：中等

已知，，则函数的最小正周期是    ．

3. 难度：中等

一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为     ．

4. 难度：中等

若关于x的方程|a^x-1|=2a，（a＞0，a≠1）有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有     种．（以数字作答）

6. 难度：中等

已知y=f（x）的图象与的图象关于直线y=x对称，则f（x）=    ．

7. 难度：中等

二项式的展开式前三项系数成等差数列，则展开式中x²项的系数为    ．

8. 难度：中等

已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组无解，则a=    ．

9. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=cosx，x∈（0，π），公比q=sinx，若，则x=    ．

10. 难度：中等

过抛物线y=x²的焦点，方向向量为的直线的一个点斜式方程是    ．

11. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-2009，，则S₂₀₁₁=    ．

12. 难度：中等

设S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…，S_n=1²+2²+…+n²+…+2²+1²，…，某学生猜测S_n=n（an²+b），老师：回答正确，则a+b=    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n=4^n-1a_n-1，（n＞1，n∈N），则通项公式a_n=    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）的图象过点M（-6，2）和N（2，-6），且对任意正实数k，有f（x+k）＜f（x）成立，则当不等式|f（x-t）+2|＜4的解集为（-4，4）时，实数t的值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若z∈C，且z²＜0，那么z一定是纯虚数
B．若z₁、z₂∈C且z₁-z₂＞0，则z₁＞z₂
C．若z∈R，则不成立
D．若x∈C，则方程x³=2只有一个根

16. 难度：中等

若A，B，C是圆x²+y²=1上不同的三个点，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（ ）
A．λ²+μ²=1
B．
C．λ•μ=1
D．λ+μ=1

17. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

18. 难度：中等

已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
A．求数列的前10项和（n∈N^*）
B．求数列的前10项和（n∈N^*）
C．求数列的前11项和（n∈N^*）
D．求数列的前11项和（n∈N^*）

三、解答题

19. 难度：中等

设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求B的大小和cosA+sinC的取值范围．

20. 难度：中等

已知正四棱锥P-ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．
（1）用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；
（2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的大小．
（结果用反三角函数值表示）

21. 难度：中等

已知函数（t是常实数）．
（1）若函数的定义为R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在实数t使得y=f（x）是奇函数，证明y=f（x）的图象在g（x）=2^x+1-1图象的下方．

22. 难度：中等

给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₁的距离为．
（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点，求弦MN的长；
（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项，公比的等比数列，设b_n+15log₃a_n=t，常数t∈N^*，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．