2007年江苏省连云港市东海高级中学高考数学仿真试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设U为全集，M，P是U的两个子集，且（C_UM）∩P=P，则M∩P等于（ ）
A．M
B．P
C．∅
D．C_UP

2. 难度：中等

若函数y=f（x+1）的定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域为（ ）
A．[0，]
B．[-1，4]
C．[-5，5]
D．[-3，7]

3. 难度：中等

若三点O、A、B不共线，则“存在唯一一对实数λ₁、λ₂，使”是“P点在直线AB上”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂=120，则a₉-的值是（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17

5. 难度：中等

已知椭圆与双曲线有相同的准线，则动点P（n，m）的轨迹为（ ）
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分
D．直线的一部分

6. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+φ）•cos（ωx+φ）（ω＞0）以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则φ的一个值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

给出下列四个命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确的命题的个数为（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

满足不等式log₂x+log₂≥2n-1（n∈N^*）的正整数x的个数记为a_n，数列{a_n}的前n项和记为S_n，则S_n=（ ）
A．2ⁿ+n-1
B．2ⁿ-1
C．2ⁿ+1
D．2ⁿ-n-1

9. 难度：中等

如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来（如同架桥），如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有（ ）

A．8种
B．12种
C．16种
D．20种

10. 难度：中等

如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a_i（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h_i（i=1，2，3，4），若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H_i（i=1，2，3，4），若=，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E为A₁B₁的中点，则异面直线DE与B₁C所成角的余弦是    ．

12. 难度：中等

.已知x，y满足条件，则z=x+3y+1的取值范围    ．

13. 难度：中等

如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是     ．

14. 难度：中等

设命题p：（x，y∈R），命题q：x²+y²≤r²（x，y，r∈R，r＞0），若命题q是命题^¬p的充分非必要条件，则r的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，若它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合．设双曲线与抛物线的一个交点为P，抛物线的焦点为F，则|PF|=    ．

16. 难度：中等

非空集合M关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈M，都有a⊕b∈M；（2）存在e∈M，使得对一切a∈M，都有a⊕e=e⊕a=a，则称M关于运算⊕为“理想集”．现给出下列集合与运算：
①M={非负整数}，⊕为整数的加法；②M={偶数}，⊕为整数的乘法；
③M={二次三项式}，⊕为多项式的加法；④M={平面向量}，⊕为平面向量的加法；
其中M关于运算⊕为“理想集”的是    ．（只需填出相应的序号）

17. 难度：中等

已知向量=（cosθ，sinθ），=（cos2θ，sin2θ），=（-1，0），=（0，1）．
（1）求证：⊥（+） （其中θ≠kπ）；
（2）设f（θ）=•（-），且θ∈（0，π），求f（θ）的值域．

18. 难度：中等

已知直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1有A、B两个不同的交点．
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称？试述理由．

19. 难度：中等

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD的交点为O，△ABF和△DEC为等边三角形，棱EF∥BC，EF=BC，AB=1，BC=2，M为EF的中点，
①求证：OM⊥平面ABCD；
②求二面角E-CD-A的大小；
③求点A到平面CDE的距离．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）若f^-1（mx²+mx+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f²（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．
（3）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

21. 难度：中等

过曲线C：y=x³上的点P₁（x₁，y₁）作曲线C的切线l₁与曲线C交于点P₂（x₂，y₂），过点P₂作曲线C的切线l₂与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，已知x₁=1．
（1）求点P₂、P₃的坐标；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）记点P_n到直线l_n+1（即直线P_n+1P_n+2）的距离为d_n，求证：．