2010年广东省广州市育才中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若方程x²-px+15=0，x²-5x+q=0的解集分别为M，N，且M∩N={3}，则p：q的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

2. 难度：中等

a=0是复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=，则a₂₀₁₀等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设，，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c

5. 难度：中等

如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于（ ）
A．8π
B．π
C．9π
D．π

6. 难度：中等

函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．2π，3
B．2π，1
C．π，3
D．π，1

7. 难度：中等

已知点P是以F₁、F₂为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足PF₁⊥PF₂，且|PF₁|：|PF₂|=2：3，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x），满足f（3-x）=f（x），f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞3则有（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．不确定

二、解答题

9. 难度：中等

根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为    人．

10. 难度：中等

执行如图的框图，则输出的s是     ．

11. 难度：中等

二项式的展开式的中间项系数为     ．

12. 难度：中等

五对夫妻要排成一列，则每一位丈夫总是排在他妻的后面（可以不相邻）的概率为     ．

13. 难度：中等

与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线与x轴，y轴的正半轴交于A、B且|oA|＞2，|OB|＞2，则三角形AOB面积的最小值为     ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B，则|AB|=    ．

15. 难度：中等

如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为    ．

16. 难度：中等

已知=（sinωx+cosωx，cosωx），=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，设f（x）=，f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．

17. 难度：中等

甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．
（1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；
（2）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率；
（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X，求EX．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱△ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若AB=，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）设h（x）=x•f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=4，a₂=，，．
（1）用a_n表示a_n+1；并证明：∀n∈N₊，a_n＞2；
（2）证明：是等比数列；
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，S_n与是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由．