2000年北京市高考数学试卷（理）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则复数在复平面内对应点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

如果I={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，其中I是全集，那么（C_IM）∩（C_IN）等于（ ）
A．φ
B．{d}
C．{a，c}
D．{b，e}

3. 难度：中等

双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．

4. 难度：中等

曲线xy=1的参数方程不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A．1：3
B．2：3
C．1：2
D．2：9

6. 难度：中等

平面直线θ=a和直线psin（θ-a）=1的位置关系是（ ）
A．垂直
B．平行
C．相交但不垂直
D．重合

7. 难度：中等

函数y=lg|x|（ ）
A．是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增
B．是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减
C．是奇函数，在区间（-∞，0）上单调递增
D．是奇函数，在区间（-∞，0）上单调递减

8. 难度：中等

从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ）
A．120个
B．480个
C．720个
D．840个

9. 难度：中等

椭圆短轴长是2，长轴长是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为z₂=r（cos∅+isin∅），则tg∅（ ）
A．+12tgθ-1
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）
A．tgatanβ＜1
B．sinα+sinβ＜
C．cosα+cosβ＞1
D．

13. 难度：中等

设已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂+…+a₁₀₁=0，则有（ ）．
A．a₁+a₁₀₁＞0
B．a₂+a₁₀₂＜0
C．a₃+a₉₉=0
D．a₅₁=51

14. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图，则（ ）

A．b∈（-∞，0）
B．b∈（0，1）
C．b∈（1，2）
D．b∈（2，+∞）

二、解答题

15. 难度：中等

函数的最小正周期是     ．

16. 难度：中等

如图是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是    ．

17. 难度：中等

展开式中的常数项是    ．

18. 难度：中等

在空间，下列命题正确的是    ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果两条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的一条直线b、c都有垂直，那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面y，那么β⊥y

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，证明：

20. 难度：中等

在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=AB=a（如图），将△ADC沿AC折起，使D到D′．记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为y．

（1）若二面角a-AC-β为直二面角（如图），求二面角β-BC-y的大小；

（2）若二面角a-AC-β为60°（如图），求三棱锥D′-ABC的体积．

21. 难度：中等

设函数f（x）=|1gx|，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），证明：ab＜1．

22. 难度：中等

如图，设点A和B为抛物线y²=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

23. 难度：中等

某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h．
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））

24. 难度：中等

已知函数其中
（1）如图，在下面坐标系上画出y=f（x）的图象；
（2）设的反函数为y=g（x），a₁=1，a₂=g（a₁），…，
a_n=g（a_n-1），求数列{a_n}的通项公式，并求；
（3）若，求x