2010年高三备考数学好题系列（13）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x²+x-6=0}，则图中阴影表示的集合为（ ）
A．{2}
B．{3}
C．{-3，2}
D．{-2，3}

2. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n，第k项满足5＜a_k＜8，则k等于（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

3. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，，且，沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．16π
B．8π
C．4π
D．2π

5. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b²+c²-a²），则∠B=（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

6. 难度：中等

考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|x≤4，y≥0，，3x-4y≥0}，
则（1）点集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的区域的面积为    ；
（2）点集Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

8. 难度：中等

若不等式＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且1+cos（π+2A）=2sin²．
（1）求角A的大小；
（2）当a=6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．

10. 难度：中等

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N^*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

11. 难度：中等

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nf（a_n），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当时，求S_n；
（3）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．