2010-2011学年湖北省补习学校联合体高三大联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也必要条件

2. 难度：中等

等比数列{a_n}的首项为a₁=2，前n项和为S_n，若，则=（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

3. 难度：中等

在△ABC中，有命题
①；
②；
③若，则△ABC为等腰三角形；
④若，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是（ ）
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④

4. 难度：中等

若直线l₁：y=k（x-4）与直线l₂关于点（2，1）对称，则直线l₂恒过定点（ ）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（-2，4）
D．（4，-2）

5. 难度：中等

已知＜0，cos（θ-π）＞0，下列不等式中必成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设，则C_AB=（ ）
A．（-∞，-1]∪[2，+∞）
B．（-1，0）
C．（-∞，0]∪[2，+∞）
D．（-1，1]

7. 难度：中等

已知方程（x²-4x-m）（x²-4x-n）=0的四个实根组成以为首项的等差数列，则|m+n|=（ ）
A．2
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某学校计划用不超过400元的资金购买单价分别为40元的资料和60元的仪器，根据需要，资料至少买4本，仪器至少买2件，则不同的选购方式共有（ ）
A．6种
B．7种
C．8种
D．9种

9. 难度：中等

给出下列三个结论：
①；
②（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≥（a₁b₁+a₂b₂）²（a₁，a₂，b₁，b₂∈R）；
③（1+x）ⁿ＞1+nx（x＞-1且x≠0，n∈N且n≥2）．其中正确的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

10. 难度：中等

若f（x）的导数为f′（x），且满足f′（x）＜f（x），则f（3）与e³f（0）的大小关系是（ ）
A．f（3）＞e³f（0）
B．f（3）=e³f（0）
C．f（3）＜e³f（0）
D．不能确定

二、解答题

11. 难度：中等

若集合A={x|2cos2πx=2^x，x∈R}，B={y|y²=1，y∈R}，则A∩B=    ．

12. 难度：中等

已知实数（x，y）满足条件（x-2）²+y²=1，则的取值范围是    ．

13. 难度：中等

消息传播问题：一个人知道一个消息，他第一次对2个人说了，结果全城人中就有3个人知道了，这2个人又每人把消息告诉了2个人，结果全城人中就有7个人知道了，假如这样传播9次，全城中该有    人知道这一消息．

14. 难度：中等

若f（x）是R上的奇函数，且f（2x-1）的周期为4，若f（6）=-2，则f（2008）+f（2010）=    ．

15. 难度：中等

对于数列{a_n}，我们把a₁+a₂+…+a_n+…称为级数，设数列{a_n}的前n项和为S_n，如果存在，，那么级数a₁+a₂+…+a_n+…是收敛的．下列级数中是收敛的有    （填序号）
①1+r+r²+…+r^n-1+…；②；③．

16. 难度：中等

设
（1）若，求（sinx+cosx）²的值
（2）若，求f（x）在[0，π]上的递减区间．

17. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-4y-4=0，
（1）若直线l过点A（1，0）且被圆C截得的弦长为2，求直线的方程；
（2）已知圆M过圆C的圆心，且与（1）中直线l相切，若圆M的圆心在直线y=x+1上，求圆M的方程．

18. 难度：中等

已知常数p＞0且p≠1，数列{a_n}前n项和数列{b_n}满足b_n+1-b_n=log_pa_2n-1且b₁=1，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若对于区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k时，b_n≥（1-λ）（3n-2）恒成立，求k的最小值．

19. 难度：中等

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）
（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（2）设现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-x+c（a，b，c∈R且a≠0），
（1）若b=1且f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）若存在实数x₁，x₂（x₁≠x₂）满足f（x₁）=f（x₂），是否存在实数a，b，c使f（x）在处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a，b，c否则说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=a＞0且a_n=f^-1（a_n+1），
（1）求函数y=f（x）的反函数；
（2）求证：；
（3）若a=1试比较a_n与2^-n的大小．