2011年上海市虹口区高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={x||x|≤2}，，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n-3，则通项公式a_n=    ．

3. 难度：中等

直线x-y+5=0被圆x²+y²-2x-4y-4=0所截得的弦长等于    ．

4. 难度：中等

各项都为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，，则通项公式a_n=    ．

5. 难度：中等

以O为起点作向量，，终点分别为A，B．已知：，，，则△AOB的面积等于    ．

6. 难度：中等

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，则AB的中点P到y轴的距离等于    ．

7. 难度：中等

若P，Q是等腰直角三角形ABC斜边AB的三等分点，则tan∠PCQ=    ．

8. 难度：中等

不等式x²-3＞ax-a对一切3≤x≤4恒成立，则实数a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出的T=______．

10. 难度：中等

在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+2ρsinθ=2围成图形的面积等于    ．

11. 难度：中等

从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若ξ表示取出后的得分，则Eξ=    ．

12. 难度：中等

关于x的方程x²+a|x|+a²-9=0（a∈R）有唯一的实数根，则a=    ．

13. 难度：中等

公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a₁=1，a_n=51，则n+d的最小值等于    ．

14. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x），对任意的x∈R均有f（x+4）=f（x）成立，当x∈[0，2]时，f（x）=x+3，则直线与函数y=f（x）的图象交点中最近两点的距离等于    ．

二、选择题

15. 难度：中等

给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α垂直”是“直线l与平面α内无数条直线垂直”的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

如果2+i是关于x的实系数方程x²+mx+n=0的一个根，则圆锥曲线的焦点坐标是（ ）
A．（±1，0）
B．（0，±1）
C．（±3，0）
D．（0，±3）

17. 难度：中等

已知：函数，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a•b•c的取值范围是（ ）
A．（0，9）
B．（2，9）
C．（9，11）
D．（2，11）

18. 难度：中等

已知：数列{a_n}满足a₁=16，a_n+1-a_n=2n，则的最小值为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5

三、解答题

19. 难度：中等

已知：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且
PA=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求二面角F-AE-C的大小．

20. 难度：中等

已知：函数f（x）=psinωx•cosωx-cos²ωx（p＞0，ω＞0）的最大值为，最小正周期为．
（1）求：p，ω的值，f（x）的解析式；
（2）若△ABC的三条边为a，b，c，满足a²=bc，a边所对的角为A．求：角A的取值范围及函数f（A）的值域．

21. 难度：中等

数列中，a_n＞0，a_n≠1，且（n∈N^*）．
（1）证明：a_n≠a_n+1；
（2）若，计算a₂，a₃，a₄的值，并求出数列的通项公式；
（3）若a₁=a，求实数p（p≠0），使得数列成等比数列．

22. 难度：中等

已知：椭圆（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若，求直线EF的方程；
（3）是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如的函数为例）