2006年浙江省杭州市重点中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知f（x）是R上的增函数，A（0，-1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集是（ ）
A．（3，+∞）
B．[2，+∞）
C．（-1，2）
D．（2，3）

2. 难度：中等

若M为△ABC所在平面内一点，且满足（）•-2=0，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

3. 难度：中等

以正方体的顶点为线段的端点，则这8个点可构成的异面直线的对数为（ ）
A．150
B．174
C．198
D．210

4. 难度：中等

已知双曲线的两个焦点为F₁、F₂，P为双曲线上一点，且∠F₁PF₂=60°，则|PF₁|•|PF₂|的值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

5. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n=a_n-1-a_n-2（n∈N^*且n≥3），则a₂₀₀₅=（ ）
A．1
B．-1
C．-2
D．2

6. 难度：中等

椭圆的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A₁在平面B₁A₂B₂上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（ ）
A．30
B．45
C．60
D．arctan2

7. 难度：中等

一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；
（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在（-∞，50]上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如果圆x²+y²=n²至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我们将乘积a₁⋅a₂⋅…⋅a_n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2006）内的所有劣数之和记为M，则M=（ ）
A．1024
B．2003
C．2026
D．2048

10. 难度：中等

函数y=f（x）的图象为C，而C关于直线x=1的对称图象为C₁，将C₁向左平移一个单位后得到C₂，则C₂所对应的函数为（ ）
A．y=f（-x）
B．y=f（1-x）
C．y=f（2-x）
D．y=f（3-x）

二、解答题

11. 难度：中等

已知S={θ|f（x）=cosω（x+θ）（ω∈N₊）是奇函数}，P={x|}，若S∩P=∅，则ω是    ．

12. 难度：中等

已知M为椭圆（a＞b＞0）上的动点，F₁、F₂为椭圆焦点，延长F₂M至点B，则ρF₁MB的外角的平分线为MN，过点F₁作
F₁Q⊥MN，垂足为Q，当点M在椭圆上运动时，则点Q的轨迹方程是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx的图象如右图所示，则关于a、b、c的符号分别是    ．

14. 难度：中等

使得：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜2006成立的最大正整数n的值为    ．

15. 难度：中等

已知．
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）若f（x）=2，，求x的值．

16. 难度：中等

做一个玩掷骰子放球游戏，若掷出1点，则在甲盒中放一个球；若掷出2点或3点，则在乙盒中放一个球；若掷出4点、5点或6点，则在丙盒中放一个球、设掷n次后，甲、乙、丙各盒内的球数分别为x、y、z、若n=3，求x、y、z成等差数列的概率．

17. 难度：中等

圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．
（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=，求此圆锥的体积；
（Ⅲ）如果二面角A-SB-Q的大小为arctan，求∠AOQ的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）的导数f″（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为M，对任意[a，b]⊆M，存在x∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f″（x）成立，求证：方程f（x）=x存在唯一的实数根α；
（Ⅱ） 求证：当x＞α时，总有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）对任意x₁、x₂，若满足|x₁-α|＜2，|x₂-α|＜2，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f ^-1（x）；
（Ⅱ）若a₁=1，（n∈N₊），求a_n；
（Ⅲ）设b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²，是否存在最小的正整数k，使对于任意n∈N₊有b_n＜成立． 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

椭圆的中心是原点O，短轴长为，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设（λ＞1），点Q关于x轴的对称点为Q′，求证：．