2009年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数（m²-3m）+（m²-5m+6）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0
B．2
C．0或3
D．2或3

2. 难度：中等

已知函数ƒ（x）=则函数f（x）的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x²-7x+10＜0}，则C_R（A∩B）=（ ）
A．（-∞，3）∪（5，+∞）
B．（-∞，3）∪[5，+∞）
C．（-∞，3]∪[5，+∞）
D．（-∞，3]∪（5，+∞）

4. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-2x+1＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-2x+1≥0
B．∃x∈R，x²-2x+1＞0
C．∀x∈R，x²-2x+1≥0
D．∀x∈R，x²-2x+1＜0

5. 难度：中等

已知点A（1，0），直线l：y=2x-4，点R是直线l上的一点．若，则点P的轨迹方程为（ ）
A．y=-2
B．y=2
C．y=2x-8
D．y=2x+4

6. 难度：中等

函数f（x）=xcosx的导函数f′（x）在区间[-π，π]上的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）

A．24种
B．30种
C．36种
D．48种

8. 难度：中等

（理）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α-l-β的平面角为150°，则球O的表面积为（ ）
A．4π
B．16π
C．28π
D．112π

二、解答题

9. 难度：中等

在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为    ．

10. 难度：中等

在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其它7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为    分．

11. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，若输出y的值为0，则输入x的值为    ．

12. 难度：中等

在平面内有n（n∈N^*，n≥3）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f（n）个平面区域，则f（5）的值是     ．f（n）的表达式是     ．

13. 难度：中等

如图所示，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为     ．

15. 难度：中等

直线，（t为参数）被圆，（θ为参数）所截得的弦长为    ．

16. 难度：中等

已知向量，（x∈R），设函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若，，求f（C）的值．

17. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）求A₁A的长；
（2）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1（m∈N^*）成等差数列，试判断S_m，S_m+2，S_m+1是否成等差数列，并证明你的结论．

19. 难度：中等

一个口袋中有2个白球和n个红球（n≥2，且n∈N^*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P；
（2）若n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），当n为何值时，f（p）最大．

20. 难度：中等

已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂，在双曲线C上有一点M，使MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（3，1）的动直线 l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，证明：点Q总在某定直线上．