2010年江苏省张家港市乐余高中高考数学模拟试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知复数z=2i，则的虚部为    ．

2. 难度：中等

为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=    ．

3. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₂=-2，a₆=-32，则a₄=    ．

4. 难度：中等

已知=（2，1），=（3，λ），若，则λ的值是    ．

5. 难度：中等

已知集合，若从A中任取一个元素作为直线l的倾斜角，则直线l的斜率小于零的概率是    ．

6. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使x²+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

7. 难度：中等

已知函数，则的值为    ．

8. 难度：中等

按如图所示的流程图运算，则输出的S=    ．

9. 难度：中等

动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知A，B，F分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线AF与椭圆的右准线交于点M，若直线MB∥x轴，则该椭圆的离心率e=    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n} 满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²，则该数列的前20项的和为    ．

12. 难度：中等

已知直线kx-y+1=0与圆C：x²+y²=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=    ．

13. 难度：中等

设D、P为△ABC的两点，且满足=，=+，则=    ．

14. 难度：中等

设a＞0，函数，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

已知向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，），x∈R，记f（x）=•．若y=f（x）的图象经过点（，2 ）．
（1）求实数a的值；
（2）设x∈[-，]，求f（x）的最大值和最小值；
（3）将y=f（x）的图象向右平移，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．

16. 难度：中等

已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同侧，CE=CA=2BD=2．
（1）求证平面CAE⊥平面DAE；
（2）求：点B到平面ADE的距离．

17. 难度：中等

设数列{a_n} 的前n项和S_n=n²，数列{b_n} 满足．
（Ⅰ）若b₁，b₂，b₈ 成等比数列，试求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m，使得数列{b_n} 中存在某项b_t 满足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列？若存在，请指出符合题意的m
的个数；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB=120km，∠BAC=75°，∠ABC=45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．
（1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；
（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．
（3）求10点时甲、乙两车的距离．
（参考数据：，，，）

19. 难度：中等

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF₂为直径的圆．
（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙M与直线AF₁相切时，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．

20. 难度：中等

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．